Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.5 - Ex. 2

Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine se o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir a equação diferencial parcial dada por um par de equações diferenciais ordinárias. Se puder, encontre as equações.

2.

Passo 1

Fala galera!!!

Nos foi dado a seguinte equação diferencial parcial

Nosso objetivo é resolver a equação diferencial parcial, usando o método da separação de variáveis.

Passo 2

Para resolver a equação diferencial parcial usando o método de separação de variáveis, vamos supor que a solução da equação diferencial parcial seja dada da seguinte forma:

Agora, podemos diferenciar parcialmente a equação acima em relação a .

Podemos diferencia novamente em relação a . Assim temos:

Podemos também diferencia em relação a . Assim temos:

Passo 3

Com os resultados obtidos no passo anterior, podemos substituir e na equação diferencial parcial. Assim temos:

Ou seja:

Reorganizando, temos:

Podemos dizer que os termos são iguais a uma constante . Assim temos:

Ou seja:

Também podemos dizer que:

Portanto, a equação diferencial parcial pode ser separada como um par de equações diferenciais ordinárias:

Resposta

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