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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 8.3 - Ex. 6

Em cada um dos problemas de 1 a 6, encontre valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t   =   0,1 ;   0,2 ;   0,3   e 0,4 . Compare os resultados com os obtidos usando outros métodos e com a solução exata (se disponível).

(a) Useo método de Runge-Kutta com h   =   0,1 .

(b) Useo método de Runge-Kutta com h   =   0,05 .

5. y ' = t 2 - y 2 sen ⁡ y ,     y 0 = - 1

Passo 1

Bora lá pro nosso primeiro probleminha sobre método de R u n g e - K u t t a .

Olha só! A nossa f ( t , y ) já sabemos que é dada por...

f t , y = t 2 - y 2 sen ⁡ y

E sabemos também das seguintes condições:

t n = t 0 + n h

y 0 = 1

Sabendo disso, é uma boa utilizarmos o método de 4 ª ordem pra resolver esse nosso problema. Assim, iremos obter valores mais aproximados em cada ponto pedido.

A nossa iteração no método de R u n g e - K u t t a de 2 ª   ordem é dada por...

y n + 1 = y n + 1 6 k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4

Agora presta atenção! Como o objetivo é resolver esse problema computacionalmente, o que estamos procurando aqui é fórmulas pra colocarmos em nosso código. De preferência, que estejam em função de h e das condições fornecidas pelo enunciado.

Disso isso! Bora pro que interessa! Vamos obter k 1 ...

k 1 = h f ( t n , y n )

k 1 = h [ t n 2 - y n 2 sen ⁡ y n ]

k 1 = h [ n 2 h 2 - y n 2 sen ⁡ y n ]

Depois, bora descobrir k 2 , que é dado por...

k 2 = h f t n + 1 2 h , y n + k 1 2

k 2 = h t n + 1 2 h 2 - y n + k 1 2 2 sen ⁡ y n + k 1 2

k 2 = h n h + 1 2 h 2 - y n + k 1 2 2 sen ⁡ y n + k 1 2

Em seguida, bora partir pra obtenção de k 3   , que é igual à...

k 3 = h f t n + 1 2 h , y n + k 2 2

k 3 = h t n + 1 2 h 2 - y n + k 2 2 2 sen ⁡ y n + k 2 2

k 3 = h t n + 1 2 h 2 - y n + k 2 2 2 sen ⁡ y n + k 2 2

E finalmente, vamos obter k 4 ...

k 4 = h f t n + h , y n + k 3

k 4 = h t n + h 2 - y n + k 3 2 sen ⁡ y n + k 3

k 4 = h n h + h 2 - y n + k 3 2 sen ⁡ y n + k 3

Pronto! Agora vamos pegar esses dados pra usar em nossa resolução computacional.

Passo 2

Para isso, vamos usar a seguinte estrutura abaixo em forma de algoritmo...

P a s s o   1 : D e f i n i r   c a d a   f u n ç ã o   d e   i t e r a ç ã o   k n

P a s s o   2 : D e f i n i r   o   t a m a n h o   d o   p a s s o   e   d o   v a l o r   i n i c i a l   y ( 0 )

P a s s o   3 : F a z e r   n   r e c e b e r   0 ,   p a r a   q u e   e l e   v e n h a   a   s e r   i n c r e m e n t a d o   e m   n o s s o s   c ó d i g o

P a s s o   4 : P a r a   i   d e   1   a t é   u m   t a m a n h o   T A M   d e   0 . 4 h   f a ç a  

P a s s o   5 :  

k 1 = h [ n 2 h 2 - y n 2 sen ⁡ y n ]

k 2 = h n h + 1 2 h 2 - y n + k 1 2 2 sen ⁡ y n + k 1 2

k 3 = h t n + 1 2 h 2 - y n + k 2 2 2 sen ⁡ y n + k 2 2

k 4 = h n h + h 2 - y n + k 3 2 sen ⁡ y n + k 3

y n + 1 = y n + 1 6 k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4

i = i + 1  

n = n + 1  

P a s s o   6 : E s c r e v a   ( y n + 1 )

P a s s o   7 : F i m

Captou a mensagem!?

Pois bora em frente!

Passo 3

a) Desse modo, utilizando uma linguagem de programação qualquer, C ou P y t h o n ... Você é quem sabe! É possível determinar o que a gente quer. No caso, bora usar a linguagem C ...

Olha só! O seguinte código abaixo foi feito...

O legal é que esse código vai ser servir pra quase todas as questões desse seção! Só é preciso alterar um detalhe aqui e outro acolá!

Bom! Compilando ele, num total de iterações ( T A M ) igual à...

T A M = 0 . 4 h = 0 . 4 0.1 = 4

Obtemos os seguintes valores da figura abaixo...

E de quebra, obtemos a seguinte tabela:

Passo 4

b) Já nessa letra, só basta alterar duas coisas no código confeccional. Primeiro, o valor de h   que vai ser igual a 0 . 05 .

E depois o tamanho T A M de iterações, que vai valer...

T A M = 0 . 4 0 . 05 = 8

Ah! Esqueci de falar! É legal botar um condicional em nosso código pra ele p r i n t a r apenas os valores que pede o enunciado. Podemos fazer isso, colocando um " i f " pra que toda vez que a divisão de i por 2 for 0 , o programa mostrar.

Desse modo, compilando o código com essas alterações... Obtemos o exposto na imagem abaixo:

Pronto! Exercício finalizado com sucesso!

Resposta

a)

b)

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Usando o método de redução de ordem, mostre que, se r 1 for uma raiz repetida de r ( r - 1 ) + α r + β = 0 , então x r 1 e x r 1 serão soluções de x 2 y ' ' + α x y ' + β y = 0 para x0 .
2 - d x d t = 5 - 1 3 1 x
5 - d x d t = 1 - 5 1 - 3 x
1 - d x d t = 3 - 2 2 - 2 x
3 - d x d t = 2 - 1 3 - 2 x