Enunciado

Em cada um dos problemas de 17 a 24 :

Encontre uma equação da forma H ( x ,   y )   =   c para as trajetórias.

Equações de Duffing: d x d t =   y ,   d y d t =   – x + ( x 3 / 6 )  

Passo 1

Primeiro, devemos converter em uma EDO de primeira ordem e simplificar :

d x d t . d t d y = d y d x

Temos:

d y d t = – x + ( x 3 / 6 )      

E também:

d t d x = 1 y

Então:

d y d x = – x + ( x 3 / 6 )     y

Separando d x e d y :

y   d y = – x + ( x 3 / 6 )       d x  

Integrando:

∫ y d y = ∫ ( – x + ( x 3 / 6 )     ) d x

y 2 2 + c = - x 2 2 + x 4 24

Isolando e multiplicando por 24:

C = 12 y 2 + 12 x 2 - x 4

Então:

H x , y = 12 y 2 + 12 x 2 - x 4

Resposta

H x , y = 12 y 2 + 12 x 2 - x 4

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2 - d x d t = - x ,d y d t = 2 y ; x 0 = 4 , y 0 = 2ex 0 = 4 ,y 0 = 0.
5 - d x d t = x - x y , d y d t = y + 2 x y
1 - d x d t = - x ,d y d t = - 2 y ; x 0 = 4 , y 0 = 2.
9 - d x d t = y 2 - x - y , d y d t = - x - y - 2 x y
6 - d x d t = 1 + 2 y , d y d t = 1 - 3 x 2