Em cada um dos problemas de 17 a 24 :

Encontre uma equação da forma H(x, y) = c para as trajetórias.

dx/dt = -x + y + x^2, dy/dt = y - 2xy

Passo 1

Primeiro, devemos converter em uma EDO de primeira ordem e simplificar :

d x d t . d t d y = d y d x

Temos:

d y d t = y   –   2 x y  

E também:

d t d x = 1 – x + y + x 2

Então:

d y d x = y   –   2 x y   – x + y + x 2

Separando d x e d y :

( y   –   2 x y )     d x = – x + y + x 2   d y  

Integrando:

∫ ( y   –   2 x y )     d x = ∫ – x + y + x 2   d y

- x 2 y + x y + c = - x y + y 2 2 + x 2 y

Isolando:

- 2 x y + 2 x 2 y + y 2 2 = c

Se considerarmos que:

C = c - y 2 2

Então:

- 2 C - c = y 2

Então:

- 2 ( C - c ) = k

- 2 x y + 2 x 2 y + y 2 2 = k

Então:

H x , y = - 2 x y + 2 x 2 y + y 2

Resposta

H x , y = - 2 x y + 2 x 2 y + y 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados