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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.2 - Ex. 21

Em cada um dos problemas de 17 a 24 :

Encontre uma equação da forma H ( x ,   y )   =   c para as trajetórias.

d x d t   =   – x + y + x 2   , d y d t = y   –   2 x y

Passo 1

Primeiro, devemos converter em uma EDO de primeira ordem e simplificar :

d x d t . d t d y = d y d x

Temos:

d y d t = y   –   2 x y  

E também:

d t d x = 1 – x + y + x 2

Então:

d y d x = y   –   2 x y   – x + y + x 2

Separando d x e d y :

( y   –   2 x y )     d x = – x + y + x 2   d y  

Integrando:

∫ ( y   –   2 x y )     d x = ∫ – x + y + x 2   d y

- x 2 y + x y + c = - x y + y 2 2 + x 2 y

Isolando:

- 2 x y + 2 x 2 y + y 2 2 = c

Se considerarmos que:

C = c - y 2 2

Então:

- 2 C - c = y 2

Então:

- 2 ( C - c ) = k

- 2 x y + 2 x 2 y + y 2 2 = k

Então:

H x , y = - 2 x y + 2 x 2 y + y 2

Resposta

H x , y = - 2 x y + 2 x 2 y + y 2

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