Nos problemas 31 a 34, resolva o problema de valor de contorno dado determinando a função de Green apropriada a expanssando a solução como uma integral definida. Use as equações de (i) a (iv) do problema 30.

31. -y'' = f(x), y' (0) = 0, y(1) = 0.

Passo 1

A solução geral da EDO é dado por

y = c 1 + c 2 x

Conseguimos observar então que y 1 x = 1 satisfaz y ' 0 = 0 e que a função y 2 x = 1 - x satisfaz y 1 = 0 .

O Wronskiano dessa solução é dado por

W y 1 , y 2 = - 1

Baseado no problema 30, com p x = 1 ,   a função de green é dada por

G x , s = 1 - x ,   0 ≤ s ≤ x 1 - s ,   x ≤ s ≤ 1 .

Passo 2

Então com isso vemos a solução do PVC nos é dada por

ϕ x = ∫ 0 x 1 - x f s d s + ∫ x 1 1 - s f s d s

Resposta

G x , s = 1 - x ,   0 ≤ s ≤ x 1 - s ,   x ≤ s ≤ 1 .

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