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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.9 - Ex. 18e

Considere o sistema

x ' = A x = 1 1 1 2 1 - 1 - 3 2 4 x

(e) Escreva uma matriz fundamental Ψ ( t ) para o sistema (i).

Passo 1

Temos que a matriz fundamental é formada por sistema de colunas da solução geral. Logo a solução geral fica:

x = c 1 x 1 t + c 2 x 2 t + c 3 x 3 t

x = c 1 0 1 - 1 e 2 t + c 2 t e 2 t 0 1 - 1 + 1 1 0 e 2 t + c 3 t 2 2 e 2 t 0 1 - 1 + t e 2 t 1 1 0 + e 2 t 2 0 3

Passo 2

Como c 1 e c 2 formam um par fundamental de solução para equação:

x ' = P t x

Temos que a matriz fundamental pode ser determinada:

Ψ t = x 1 … x 2 …   … x n … x n

Aplicando a solução:

Ψ t = e 2 t 0 1 t + 2 1 t + 1 t 2 2 + t - 1 - t - t 2 2 + 3

Resposta

Ψ t = e 2 t 0 1 t + 2 1 t + 1 t 2 2 + t - 1 - t - t 2 2 + 3

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