Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.5 - Ex. 3b
Determine a solução do problema
Passo 1
Para encontrar a solução do problema, buscamos a solução geral da equação, que é da forma
onde é a solução homogênea e a solução particular, depois substituímos as condições iniciais para encontrar as constantes da solução homogênea.
Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação
Vamos então supor a solução , para isso calculamos as derivadas
Substituindo na equação temos
Colocando em evidência
Passo 2
Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada, temos um quadrado perfeito
Portanto a solução homogênea é da forma
Onde e são constantes reais, ou .
Passo 3
Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é .
Como temos uma entrada com cara exponencial, vamos supor uma solução particular com a mesma cara, mas temos que o coeficiente de na nossa exponencial é raiz dupla solução homogênea então
Calculando as derivadas
Substituindo então na equação
Então
E a solução particular é dada por
E a solução geral é dada por
Com .
Passo 4
Temos então as condições , substituindo primeiro na equação
Derivando agora
Substituindo
E temos