Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.4 - Ex. 5
Em cada um dos problemas de 1 a 6, use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.
5.
Passo 1
Peguemos a equação ordinária dada no problema:
Pensando nela, vamos encontrar nossa equação característica, que terá o seguinte formato:
As possíveis raízes desse polinômio serão:
Testando:
Fazendo a divisão de polinômio:
Portanto:
Assim, teremos as seguintes raízes:
Passo 2
Agora observem que como a equação ordinária dada no exercício, não está igualada a zero, temos um exemplo de EDO não homogênea. Então como temos uma raiz distinta e duas raízes complexas, teremos a seguinte homogênea associada:
Passo 3
Agora precisamos encontrar a nossa solução particular utilizando o método de variação dos parâmetros.
Dicazinha:É possível montar a solução particular, apenas trocando as constantes da homogênea associada, por outros parâmetros. Aqui escolhi .
Repare que agora, precisamos de descobrir os valores de para inserir na solução particular
Para isso, necessitamos do sistema de matrizes genérico:
Porém pela regra de Cramer, esse sistema pode ser convertido para seguinte expressão:
Aqui é a função da equação ordinária depois da igualdade (Aquela trazida lá no começo do problema!), correspondendo então, ao seguinte valor:
e é o determinante obtido de W substituindo a m-ésima coluna pela coluna
Calma que eu já te explico, vem comigo!
Vamos calcular primeiramente o determinante de
Lembram da nossa solução particular? De lá temos:
, que são as funções que acompanham sacou?
Passo 4
Bora lá então e vamos inserir tudo isso na primeira linha, para derivarmos na sequência! . Isso porque temos 3 termos, n=3 e sempre diminuímos uma unidade desse valor, o que resulta em 2, assim precisaremos ir até a derivada de segunda ordem.
Agora precisamos descobrir o determinante de :
Repare que a única diferença para o cálculo de cada um desses determinantes, foi a posição da coluna (0,0,1).
Já que possuímos tudo que precisamos, vamos encontrar
Passo 5
Vamos resolver as integrais de do passo anterior, encontrando assim: .
Passo 6
Vamos agora resolver as integrais um de cada vez, mas para isso, podemos usar o seguinte resultado:
Agora, podemos resolver as integrais. Uma dica importante é que a integral da soma é igual a soma das integrais.
Passo 7
Chegamos ao último passo! Agora podemos escrever a nossa solução particular, trocando , pelos respectivos valores encontrados no passo anterior. Assim teremos:
Portanto temos os dados necessários, para escrever a solução geral da equação diferencial que nos foi pedida. Esta será dada pela soma da homogênea associada com a solução particular encontrada. Dessa forma, teremos: