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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.1 - Ex. 3

Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine o raio de convergência da série de potência dada.

3.

∑ n = 0 ∞ x 2 n n !

Passo 1

Fala galera!!

Queremos encontrar o raio de convergência da seguinte série de potências:

∑ n = 0 ∞ x 2 n n !

Para isso, vamos começar usando o teste da razão.

Passo 2

O teste diz o seguinte:

Se ∑ a n  é uma série positiva e

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

então:

(a) A série  ∑ a n é absolutamente convergente se L < 1 .

(b) A série  ∑ a n é divergente se L > 1 .

(c) O teste da relação é inconclusivo se L = 1 .

Passo 3

Temos que:

a n = x 2 n n !

Então:

a n + 1 = x 2 n + 1 n + 1 !

Vamos aplicar agora o teste da razão. Assim temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

= lim n → ∞ ⁡ x 2 n + 1 n + 1 ! x 2 n n !

= lim n → ∞ ⁡ x 2 n + 1 n + 1 ! ⋅ n ! x 2 n

= lim n → ∞ ⁡ x 2 ⋅ n 2 n n + 1 ⋅ n ! ⋅ x ! n 2 n

= lim n → ∞ ⁡ x 2 n + 1 ⋅ 1 1

= lim n → ∞ ⁡ x 2 n + 1

= x 2 lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1

= x 2 0

Portanto:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 0 < 1

Passo 4

Uma vez que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

para todos x ∈ R , pelo teste Razão, a série converge para todos os números reais.

Portanto, o raio de convergência da série de potências é ρ = ∞ .

Resposta

ρ = ∞

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