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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.3 - Ex. 18

Em cada um dos problemas de 13 a 18, determine uma forma adequada para Y ( t ) se for utilizado o método dos coeficientes indeterminados. Não calcule as constantes.

18.

y ( 4 ) + 2 y ' ' ' + 2 y ' ' = 3 e t + 2 t e - t + e - t sen ⁡ t

Passo 1

Peguemos a equação ordinária dada no problema:

y ( 4 ) + 2 y ' ' ' + 2 y ' ' = 3 e t + 2 t e - t + e - t sen ⁡ t

Pensando nela, vamos encontrar nossa equação característica, que terá o seguinte formato:

p r = r 4 + 2 r 3 + 2 r 2 = 0

r 2 r 2 + 2 r + 2 = 0

Temos portanto que:

r 2 = 0

E da expressão entre parênteses:

r 2 + 2 r + 2 = 0

∆ = - 4 = 2 i

r =   - 1   ± i

Portanto teremos as seguintes raízes:

r 1 = 0

r 2 = 0

r 3 = - 1 + i

r 4 =   - 1 - i

Passo 2

Agora observem que como a equação ordinária dada no exercício, não está igualada a zero, temos um exemplo de EDO não homogênea. Então vem comigo e vamos resolver a homogênea associada:

Dicazinha:

Para montar a homogênea associada, lembre-se que:

→ P a r a   d u a s   r a í z e s   i g u a i s :   y = C 1 e r 1 t + C 2 t e r 2 t

→ P a r a   r a í z e s   c o m p l e x a s : y = C 3 e r 3 t c o s μ t + C 4 e r 4 t sen ⁡ μ t

Logo, a homogênea associada será:

y t = C 1 + C 2 t + C 3 e - t cos ⁡ t + C 4 e - t sen ⁡ t

Passo 3

Agora precisamos encontrar as soluções particulares

Para a primeira solução particular, temos que:

f x =   e d x

Então nossa solução particular será:

Y 1 p t = t s ( A e t )

Se S=0, então:

Y 1 p t = A e t

Note que, nenhuma parcela é solução da homogênea associada, então encontramos a primeira solução particular.

Para a segunda solução particular, temos que:

f x =   t e - d x

Então:

Y 2 p t = t s C + B t e - t

Se S=0, temos:

Y 2 p t = C + B t e - t

Note que, nenhuma parcela é solução da homogênea associada, então encontramos a segunda solução particular.

Para a terceira e última solução particular, temos que:

f x =   sen ⁡ t e - d x

Então:

Y 3 p t = t s ( D cos ⁡ t e - t + E sen ⁡ t e - t )

Se S=0, teremos:

Y 3 p t = ( D cos ⁡ t e - t + E sen ⁡ t e - t )

Note que, as duas parcelas dentro dessa terceira solução particular, são soluções da homogênea associada. C o n s i d e r e :   C 3 = D ,   C 4 = E ,   C 1 = 0 ,   C 2 = 0 ,   p o r t a n t o   n ã o   é   a c e i t á v e l   S = 0

Se S=1, então:

Y 3 p t = t ( D cos ⁡ t e - t + E sen ⁡ t e - t )

Note que, nenhuma parcela é solução da homogênea associada, então encontramos a terceira solução particular.

Agora podemos somar as três soluções particulares encontradas e achar a solução particular global, ou seja, a que foi pedida no enunciado:

Y t = A e t + B t + C e - t + t ( D e - t cos ⁡ t + E e - t sen ⁡ t )

Resposta

Y t = A e t + B t + C e - t + t ( D e - t cos ⁡ t + E e - t sen ⁡ t )

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