Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.4 - Ex. 11b
Considere o sistema (3) no Exemplo 1 do texto. Lembre-se de que esse sistema tem um ponto critico assinoticamente estavel em (0,5; 0,5), correspondente a coexistência estável das populações das duas espécies. Suponha, agora, que a imigração ou emigração ocorrem com taxas constantes δa e δb para as espécies x e y, respectivamente. Nesse caso, as Eqs. (3) são substituídas por
O problema é saber qual efeito disto na localização do ponto de equilíbrio estável.
Dos termos constantes (os termos que não envolvem δ), mostre que x0 = 0,5 e y0 = 0,5, confirmando, assim que na falta de imigração ou emigração o ponto crítico é (0,5; 0,5).
Passo 1
Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos os valores críticos das equações e achar o equilíbrio. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??
Passo 2
Ok, nosso primeiro passo vai ser determinar quais os pontos críticos, ou seja, igualar as derivadas a zero.
Se não tivermos a imigração ou a emigração, o delta é igual a zero, o que nos leva a:
Passo 3
Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!
Substituindo
Podemos ver que realmente são os pontos críticos do sistema, o que nos leva a estabilidade.
Resposta
Podemos ver que realmente são os pontos críticos do sistema, o que nos leva a estabilidade.