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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.3 - Ex. 2

Em cada um dos problemas de 1 a 4, verifique se (0, 0) é um ponto crítico, mostre que o sistema é localmente linear e discuta o tipo e a estabilidade do ponto crítico (0, 0) examinando o sistema linear correspondente.

2)

d x d t = - x + y + 2 x y ,       d y d t = - 4 x - y + x 2 - y 2

Passo 1

Primeiramente vamos reescrever o sistema na seguinte forma:

x ' = A x + g x

d d t x y = - 1 1 - 4 - 1 x y + 2 x y 2 x 2 - y 2

Passo 2

Agora zerando a coluna x y = 0 , para verificar se ( 0,0 ) é um ponto crítico. Temos que ter o resultado igual vetor zero, vamos lá.

d d t x y = - 1 1 - 4 - 1 ∙ 0 0 + 0 2 0 = 0 0

Agora podemos identificar a nossa g x = 2 x y 2 x 2 - y 2 , para mostrar que g 1 x r → = 0 e   g 2 x r → = 0 .

Reescrevendo g x na forma polar temos, x = r cos ⁡ θ , y = r   s e n   θ .

g 1 x r = 2 x y r = 2 ∙ r cos ⁡ θ ∙ r   s e n   θ r

Com r → 0 , temos:

g 1 x r = 0

g 2 x r = 2 r 2 cos 2 ⁡ θ - r 2 s e n 2 θ r

Com r → 0 , temos:

g 2 x r = 0

Bem isto é um ótimo sinal para dizer que o sistema quase linear, ou melhor, localmente linear. provamos que a origem é um ponto critico isolado do sistema linear.

Passo 3

Tendo nosso sistema homogêneo:

d d t x y = - 1 1 - 4 - 1 x y

E equação característica dele é dada por:

det ⁡ A - r I = - 1 1 - 4 - 1 - r 0 0 r

Efetuando a subtração e executando o determinante temos:

r 2 + 2 r + 5 = 0

Com raízes características:

r 1 = - 1 + 2 i ,           r 2 = - 1 - 2 i

Consequentemente, temos autovalores complexos com a parte real negativa. Portanto, a origem é um ponto espiral fazendo com que o sistema seja assintoticamente estável.

Resposta

A origem é um ponto espiral fazendo com que o sistema seja assintoticamente estável.

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O sistema resulta de uma aproximação das equações de Hodgkin-Huxley, que moderam a transmissão de impulsos neurais ao longo de um axônio.Desenhe os retratos de fase para γ = 0,8 e γ = 1,5.
Esboce as retas de crescimento nulo e descreva como os pontos críticos se movem quando α aumenta.
Para αα0 não existem pontos críticos. Escolha um desses valores de α e desenhe um retrato de fase..
Encontre os pontos críticos.
Seja α = 2. Classifique cada ponto crítico investigando o sistema linear correspondente. Desenhe um retrato de fase em um retângulo contendo os pontos críticos..