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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.4 - Ex. 12b

O sistema

resulta de uma aproximação das equações de Hodgkin-Huxley, que moderam a transmissão de impulsos neurais ao longo de um axônio.

Desenhe os retratos de fase para γ = 0,8 e γ = 1,5.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos os valores críticos das equações e achar o equilíbrio. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser determinar quais os pontos críticos, ou seja, igualar as derivadas a zero.

d x d t = 0

d y d t = 0

Oque nos leva a:

-   y = 0     ∴     y = 0

x x - 0,15 x - 2 = 0

Vamos montar o Jacobiano:

J =   0 - 1 - 3 x 2 + 4,3 x - 0,3 - γ

J 0   ,   0 =   0 - 1 - 0,3 - γ         → p o n t o   d e   s e l a

J 0,15   ,   0 =   0 - 1 0,2775 - γ       →     p o n t o   e s p i r a l

J 2   ,   0 =   0 - 1 - 3,7 - γ       → p o n t o   d e   s e l a

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

Para γ = 0,8 :

Para γ = 1,5 :

Resposta

Para γ = 0,8 :

Para γ = 1,5 :

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