Em cada um dos problemasde 18 a 21 , obtenha uma fórmula para o erro de truncamento local para o método deEuler em termos de t e da solução phi .

21. y' = 2t + e^(-ty), y(0) = 1

Passo 1

Bora lá pro nosso probleminha!

Olha só! Seja φ ( t ) uma solução para o problema do valor inicial.

O erro de truncamento local para o método Euler, no intervalo t n   ≤   t   ≤   t n + 1   , é dado por...

e n + 1 = 1 2 ϕ ' ' t - n h 2

Sendo que t - n vai estar contido no intervalo abaixo...

t n   < t - n < t n + 1  

Passo 2

Agora, vamos trocar y por ϕ ( t ) substituindo na equação diferencial que nos é dada...

ϕ ' t = 2 t + e - t ϕ ( t )

Derivando essa expressão, ficamos com...

ϕ ' ' t = 2 - ϕ t + t ϕ ' t ⋅ e - t ϕ ( t )

Só que anteriormente, descobrimos que...

ϕ ' t = 2 t + e - t ϕ ( t )

Aproveitando-se dessa relação na equação que derivamos:

ϕ ' ' t = 2 - ϕ t + ϕ ' t ⋅ e - t ϕ ( t )

ϕ ' ' t = 2 - ϕ t + 2 t 2 + t e - t ϕ ( t ) ⋅ e - t ϕ ( t )

Desse modo, a nossa fórmula para o erro e n + 1 de truncamento local vai ser:

e n + 1 = 1 2 ϕ ' ' t - n h 2

e n + 1 = 1 2 2 - ϕ t - n + 2 t - n 2 + t e - t - n ϕ t - n ⋅ e - t - n ϕ t - n ⋅ h 2

e n + 1 = 1 2 2 - ϕ t - n + 2 t - n 2 + t e - t - n ϕ t - n ⋅ e - t - n ϕ t - n ⋅ h 2

e n + 1 = h 2 - h 2 2 ⋅ ϕ t - n + 2 t - n 2 + t e - t - n ϕ t - n ⋅ e - t - n ϕ t - n

Não podendo esquecer do intervalo de t - n ...

t n   < t - n < t n + 1

Resposta

e n + 1 = h 2 - h 2 2 ϕ t - n + 2 t - n 2 + t e - t - n ϕ t - n ⋅ e - t - n ϕ t - n ,     t n   < t - n < t n + 1

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