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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 45

Calcula a integral:

int_0^((pi)/(6)) (sqrt(1 + cos 2 x )) d x

Passo 1

Opa! Bora calcular a integral:

int_0^((pi)/(6)) (sqrt(1 + cos 2 x )) d x

A primeira coisa que a gente vai fazer aqui é reescrever a nossa integral , usando a identidade:

cos^2 x = (1)/(2) (1 + cos (2 x))

cos 2 x = (2 cos^2 x) - 1

Temos então:

int_0^((pi)/(6)) (sqrt(1 + (2 cos^2 x) - 1)) d x =

int_0^((pi)/(6)) sqrt(2 cos^2 x) d x = sqrt(2) int_0^((pi)/(6)) cos x d x

Passo 2

Agora resolvemos a integral:

sqrt(2) int_0^((pi)/(6)) cos x d x = sqrt(2) [sin x]_0^((pi)/(6))

sqrt(2) [sin x]_0^((pi)/(6)) = sqrt(2) (sin (pi)/(6) - sin 0)

Finalmente chegamos em:

int_0^((pi)/(6)) (sqrt(1 + cos 2 x )) d x = (sqrt(2))/(2)

Resposta

int_0^((pi)/(6)) (sqrt(1 + cos 2 x )) d x = (sqrt(2))/(2)

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