Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 27

Calcule a integral definida

int_0^1 (x + 1)/(1 + x^2) d x

Passo 1

Para fazer a integral definida primeiro temos que achar a indefinida, e fazer o teorema da variação total depois

int (x + 1)/(1 + x^2) d x

Vamos separar a integral

int (x + 1)/(1 + x^2) d x = int ((x)/(1 + x^2) + (1)/(1 + x^2)) d x

Por propriedades de integral:

int ((x)/(1 + x^2) + (1)/(1 + x^2)) d x = int ((x)/(1 + x^2)) d x + int ((1)/(1 + x^2)) d x

Vamos começar resolvendo a primeira integral:

Passo 2

int ((x)/(1 + x^2)) d x

Aquele x^2 + 1 está pentelhando a vida, vamos usar substituição simples para resolver:

a = x^2 + 1 -> d a = 2 x d x -> (d a)/(2) = x d x

Vamos ter:

int (x d x)/(1 + x^2) = int ((d a)/(2))/(a) = int (d a)/(2 a) = (1)/(2) int (d a)/(a)

Passo 3

Vamos para a integral em a

(1)/(2) int (d a)/(a) = (1)/(2) ln a + C

Voltando para x :

(1)/(2) ln a + C = (1)/(2) ln (1 + x^2) + C

int ((x)/(1 + x^2)) d x = (1)/(2) ln (1 + x^2) + C

Passo 4

A outra integral agora:

int ((1)/(1 + x^2)) d x

Essa é a integral de tg^(- 1)

int ((1)/(1 + x^2)) d x = tg^(- 1) x + C

A nossa integral toda fica:

int (x + 1)/(1 + x^2) d x = int ((x)/(1 + x^2)) d x + int ((1)/(1 + x^2)) d x = (1)/(2) ln (1 + x^2) + tg^(- 1) x + C

Passo 5

Agora que achamos a integral indefinida, vamos para a definida:

int_0^1 (x + 1)/(1 + x^2) d x = ((1)/(2) ln (1 + x^2) + tg^(- 1) x|_0^(sqrt(3)) =

((1)/(2) ln (1 + 1^2) + tg^(- 1) 1) - ((1)/(2) ln (1 + 0^2) + tg^(- 1) 0) = (1)/(2) ln 2 + tg^(- 1) 1 - tg^(- 1) 0

Vamos ver essas tg^(- 1)

Temos:

tg^(- 1) 1 = a ⟷ tg a = 1

O ângulo que tem tangente igual a 1 é (pi)/(4)

tg^(- 1) 0 = a ⟷ tg a = 0

O ângulo que tem tangente igual a 0 é 0

int_0^1 (x + 1)/(1 + x^2) d x = (1)/(2) ln 2 + (pi)/(4)

Resposta

(1)/(2) ln 2 + (pi)/(4)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios de 31 a 36, calcule a integral definida. 32 )∫ π 8 π 6 2 . sec 4 ⁡ ( 2 t ) . d t
Nos Exercícios de 1 a 30, calcule a integral indefinida. 27 )∫ s e c 3 ( x ) tg 4⁡ ( x ) . d x
Nos Exercícios de 31 a 36, calcule a integral definida. 35 )∫ π 4 π 2 cos 4 ⁡ ( t ) sen 6 ⁡ ( t ) . d t
Nos Exercícios de 31 a 36, calcule a integral definida. 34 )∫ 0 π 3 t g 3 x sec ⁡ x . d x
Nos Exercícios de 1 a 30, calcule a integral indefinida. 28 )∫ s e n 2 ( π x ) cos 6⁡ ( π x ) . d x