Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 28

Calcule a integral definida

int_0^(sqrt(3)) (x d x)/(sqrt(1 + x^2))

Passo 1

Para fazer a integral definida primeiro temos que achar a indefinida, e fazer o teorema da variação total depois

int (x d x)/(sqrt(1 + x^2))

Aquele x^2 + 1 está pentelhando a vida, vamos usar substituição simples para resolver:

a = x^2 + 1 -> d a = 2 x d x -> (d a)/(2) = x d x

Vamos ter:

int (x d x)/(sqrt(1 + x^2)) = int ((d a)/(2))/(sqrt(a)) = int (d a)/(2 sqrt(a)) = (1)/(2) int (d a)/(sqrt(a))

Passo 2

Vamos para a integral em a

(1)/(2) int (d a)/(sqrt(a))

Para isso, vamos fazer

(1)/(sqrt(a)) = (1)/(a^((1)/(2))) = a^(- (1)/(2))

A integral vai ficar:

(1)/(2) int (d a)/(sqrt(a)) = (1)/(2) int a^(- (1)/(2)) d a

Pela integral de potência:

(1)/(2) int a^(- (1)/(2)) d a = (1)/(2) (a^(- (1)/(2) + 1))/(- (1)/(2) + 1) + C = (1)/(2) (a^((1)/(2)))/((1)/(2)) + C = a^((1)/(2)) + C = sqrt(a) + C

Voltando para x :

sqrt(a) + C = sqrt(x^2 + 1) + C

int (x d x)/(sqrt(1 + x^2)) = sqrt(x^2 + 1) + C

Passo 3

Agora que achamos a integral indefinida, vamos para a definida:

int_0^(sqrt(3)) (x d x)/(sqrt(1 + x^2)) = (sqrt(x^2 + 1)|_0^(sqrt(3)) = (sqrt((sqrt(3))^2 + 1)) - (sqrt(0^2 + 1)) = sqrt(3 + 1) - sqrt(0 + 1) = sqrt(4) - sqrt(1)

2 - 1 = 1

Resposta

1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios de 1 a 30, calcule a integral indefinida. 30 )∫ s e c 4 ( w ) t gw . d w
Nos Exercícios de 1 a 30, calcule a integral indefinida. 25 )∫ d u 1 + sec ⁡ ( u 2 )
Nos Exercícios de 1 a 30, calcule a integral indefinida. 24 )∫ t g 4 y sec 5 ⁡ ( y ) . d y
Ache a área da região limitada pela curva y = t g ²x , ² pelo eixo x e pela reta x = 1 4 π .
Nos Exercícios de 1 a 30, calcule a integral indefinida. 29 )∫ t g 3 ( ln ⁡ x ) . s e c 6 ( ln ⁡ x ) x . d x