Calcule a integral definida

∫ 0 3 x d x 1 + x 2

Passo 1

Para fazer a integral definida primeiro temos que achar a indefinida, e fazer o teorema da variação total depois

∫ x d x 1 + x 2

Aquele x 2 + 1 está pentelhando a vida, vamos usar substituição simples para resolver:

a = x 2 + 1 → d a = 2 x d x → d a 2 = x d x

Vamos ter:

∫ x d x 1 + x 2 = ∫ d a 2 a = ∫ d a 2 a = 1 2 ∫ d a a

Passo 2

Vamos para a integral em a

1 2 ∫ d a a

Para isso, vamos fazer

1 a = 1 a 1 2 = a - 1 2

A integral vai ficar:

1 2 ∫ d a a = 1 2 ∫ a - 1 2 d a

Pela integral de potência:

1 2 ∫ a - 1 2 d a = 1 2 a - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + C = 1 2 a 1 2 1 2 + C = a 1 2 + C = a + C

Voltando para x :

a + C = x 2 + 1 + C

∫ x d x 1 + x 2 = x 2 + 1 + C

Passo 3

Agora que achamos a integral indefinida, vamos para a definida:

∫ 0 3 x d x 1 + x 2 = x 2 + 1 0 3 = 3 2 + 1 - 0 2 + 1 = 3 + 1 - 0 + 1 = 4 - 1

2 - 1 = 1

Resposta

1

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