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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 24

Calcule a integral indefinida

int (2 d t)/((t - 3) sqrt(t^2 - 6 t + 5))

Passo 1

int (2 d t)/((t - 3) sqrt(t^2 - 6 t + 5))

Temos um polinômio doidão ali no denominador, a boa aqui é tentar achar algo da forma

1 - a^2

Ou

a^2 - 1

Como o termo x^2 está com o 1 , vamos procurar a segunda forma: a^2 - 1

Mas como vamos fazer isso? COmpeltando quadrados, claro quem nunca pensou nisso? Hahahah

Vou te mostrar com bastante calma como faz isso:

t^2 - 6 t + 5

Vamos olhar so p t^2 - 6 t , ele deve ficar parecido com a^2 - 2 a b + b^2 .

a^2 - 2 a b + b^2 = (a - b)^2

Comaprando, teremos

a = t

b = 3

Agora, temos que somar e subtrair b^2 ,

t^2 - 6 t + 5 = t^2 - 6 t + 9 - 9 + 5 = (t - 3)^2 - 4

A nossa integral fica:

int (2 d t)/((t - 3) sqrt(t^2 - 6 t + 5)) = int (2 d t)/((t - 3) sqrt((t - 3)^2 - 4))

Passo 2

int (2 d t)/((t - 3) sqrt((t - 3)^2 - 4))

Podemos fazer u = t - 3 -> d u = d t :

2 int (d u)/(u sqrt(u^2 - 4))

Opa, e agora sim podemos identificar o u^2 - 4 na raiz. Essa é a substuição trigonométrica em que temos um termo sqrt(x^2 - a) e a substituição é x = a sec theta -> d x = a sec theta tan theta d theta . No nosso caso, faremos sqrt(u^2 - 4) , a = 2 e u = 2 sec theta -> d u = 2 sec theta tan theta d theta . Assim, nossa integral fica:

2 int (2 sec theta tan theta)/(2 sec theta sqrt(4 sec^2 theta - 4)) d theta

Vamos fazer as contas:

2 int (tan theta)/(sqrt(4 ( sec^2 theta - 1 ))) d theta

Como sec^2 theta = 1 + tan^2 theta -> sec^2 theta - 1 = tan^2 theta e:

2 int (tan theta)/(sqrt(4 tan^2 theta)) d theta

2 int (tan theta)/(2 tan theta) d theta

int 1 d theta = theta + C

Como fizemos a substituição u = 2 sec theta , temos que:

sec theta = (u)/(2)

:.

theta = arcsec (u)/(2)

E quem era u ? Tínhamos que u = t - 3 , então:

theta = arcsec (t - 3)/(2)

Com isso, nossa integral deu:

theta + C = arcsec (t - 3)/(2) + C

Resposta

arcsec (t - 3)/(2) + C

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