Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 23
Calcule a integral indefinda
Passo 1
Quando temos um polinômio com só um grau menor em cima, a ideia é tentarmos fazer uma substituição chamando o denominador de .Vamos ver como ficaria isso
Mas nosso numerador é e não , amos reescrevê-lo da seguinte forma:
Repara que não mudamos, mas substituindo na integra, vamos ter:
A primeira interal resolvemos direito com substituição simples, a segunda é aauqele que temos que tentar achar a integral da trigonométrica inversa.
Passo 2
Vamos começar com:
Vamos fazer
A integral vai ficar:
Voltando para
Passo 3
Agora
Temos um polinômio doidão ali no denominador, a boa aqui é tentar achar algo da forma
Ou
Como o termo está com o , vamos procurar a primeira forma:
Mas como vamos fazer isso? COmpeltando quadrados, claro quem nunca pensou nisso? Hahahah
Vou te mostrar com bastante calma como faz isso:
Primeiro colocamos o em evidência
Vamos olhar so p , ele deve ficar parecido com .
Comaprando, teremos
Agora, temos que somar e subtrair , porque o trinômio está sendo todo multiplicado por , que achamos da equação original
A nossa integral fica:
Passo 4
Quando temos uma raiz quadrada no denominador, precisamos dar uma manipulada para que apareça algo dessas formas:
Para que possamos usar as derivadas das funções trigonométricas inversas
Primeiro, vamos colocar o em evidência dentro da raiz:
Temos algo parecido, o que vamos precisar fazer é a substituição
Além disso:
Substituindo na integral:
Essa é integra é , então vamos ter:
Voltando para
Passo 5
Juntando tudo que achamos, vamos ter:
Podemos colocar a constante já do lado de fora dessa contarada toda, afinal vai acabar tudo se juntando em uma só.