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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.2 - Ex. 22

Calcula a integral

int t g^2 x sec^4 x d x

Passo 1

Temos que calcular a integral definida dada. Parece bem difícil né? Mas não, veja só!

A gente tem uma identidade trigonométrica que nos diz que

sec^2 x d x = [t g^2 + 1]

Então, substituindo na integral,

int t g^2 x sec^4 x d x = int t g^2 x sec^2 x sec^2 x d x = int t g^2 [t g^2 + 1] sec^2 x d x

Passo 2

Para facilitar nossa vida, vamos fazer uma substituição,

u = t g x => d u = sec^2 x

Daí,

int t g^2 [t g^2 + 1] sec^2 x d x = int u^2 (u^2 + 1) d u

Abrindo as contas,

int u^2 (u^2 + 1) d u = int (u^4 + u^2) d u

Pelas propriedades de integral,

int (u^4 + u^2) d u = (u^5)/(5) + (u^3)/(3) + K = (1)/(5) t g^5 x + (1)/(3) t g^3 x + K

Resposta

int t g^2 x sec^4 x d x = (1)/(5) t g^5 x + (1)/(3) t g^3 x + K

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