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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 42

Nos exercícios de 40 a 42, prove a fórmula indicada do Teorema 8.3.2, fazendo uma variação adequada da variável e então usando o Teorema 8.3.1.

42) Fórmula (6)

Passo 1

Primeiro, precisamos lembrar que a Fórmula 5, fornecida pelo Teorema 8.3.2, é

∫ d u u u ² - a ² = 1 a sec - 1 ⁡ u a + C ,       o n d e   a > 0

Como enunciado, precisamos fazer uma variação de forma que possamos usar o Teorema 8.3.1. Então:

u = a x

Derivando:

d u = a . d x

Substituindo:

∫ d u u u ² - a ² = ∫ a . d x a x a ² x ² - a ² = ∫ a . d x a ² x x ² - 1 = 1 a ∫ d x x ( 1 + x ² )

Pelo Teorema 8.3.1:

∫ d x x ( 1 + x ² ) = s e c - 1 x + C

Substituindo x:

1 a s e c - 1 x   + C = 1 a s e c - 1 u a   + C

Provando que

∫ d u u u ² - a ² = 1 a sec - 1 ⁡ u a + C ,       o n d e   a > 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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