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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 47

Nos exercícios de 46 a 48, prove a fórmula, mostrando que a derivada do segundo membro é igual ao integrando.

46 )   ∫ d u 1 + u ² = - cotg - 1 ⁡ u + C  

Essa fórmula é equivalente à fórmula (2)? Por quê?

Passo 1

Para provar a igualdade precisamos derivar - cotg - 1 ⁡ u + C   e verificar se é igual ao integrando ∫ d u 1 + u ² .

Derivando:

D u - cotg - 1 ⁡ u + C   = - . D u ( cotg - 1 ⁡ u ) + D u ( C )

Lembrando que a derivada de uma constante é 0:

D u - cotg - 1 ⁡ u + C = . - D u ( cotg - 1 ⁡ u )

Segundo o Teorema 8.2.4:

D u cotg - 1 ⁡ u = - 1 1 + u ² . D u u = - 1 1 + u ²

Então:

- D u cotg - 1 ⁡ u = - - 1 1 + u ²

Concluindo:

∫ d u 1 + u ² = - cotg - 1 ⁡ u + C  

Como

cotg - 1 ⁡ u = π 2 - t g - 1 u

∫ d u 1 + u ² = - ( π 2 - t g - 1 u ) + C

∫ d u 1 + u ² = t g - 1 u + C - π 2

A soma ou subtração de duas constantes nos fornece ainda uma constante, então:

∫ d u 1 + u ² = t g - 1 u + C

Sendo assim, comprovamos que a equação do exercício é igual a fórmula 2.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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