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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 45

Prove que o movimento do Exercício 44 é harmônico simples, mostrando que a equação diferencial (7) é satisfeita.

Passo 1

A equação 7 é dada por:

d v d t = - k 2 s             ( 7 )

O exercício 44 nos deu a equação para a distância

s = 5 . cos ⁡ 4 t

Onde:

k = 4

a = 5

Para provar a equação 7, precisamos derivar a equação da velocidade em função da variável t. Em um movimento harmônico simples a velocidade é dada por:

v = ± k a ² - s 2

Substituindo:

v = ± 4 5 ² - ( 5 . cos ⁡ 4 t ) 2

v = ± 4 25 - 25 . ( cos ⁡ 4 t ) 2

v = ± 4 25 ( 1 - ( cos ⁡ 4 t ) 2 )

Lembrando que

1 - cos ⁡ 4 t 2 = ( s e n   4 t ) ²

v = ± 4 25 . ( s en ⁡ 4 t ) 2

v = ± 4 . 5 . s e n   4 t

v = ± 20 . s e n   4 t

Derivando a equação da velocidade com relação ao t:

d v d t = ± 20 . 4 . cos ⁡ 4 t

d v d t = ± 8 0 . cos ⁡ 4 t

Reorganizando:

d v d t = ± 4 ² . ( 5 . cos ⁡ 4 t )

Ou seja,

d v d t = - k 2 s

Comprovando que a partícula está em movimento harmônico simples.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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