Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 42d

Uma lâmina esférica é representada pela equação vetorial

r → u , v = a cos ⁡ u cos ⁡ v ,   a   s e n   u cos ⁡ v ,   a   s e n   v ,

0 ≤ u ≤ 2 π e - π / 2 ≤ v ≤ π / 2

Supondo que a densidade da esfera é constante, calcular o momento de inércia da esfera com relação ao eixo dos y .

Passo 1

Temos que o momento de inércia I L de uma determinada superfície S em relação a um eixo L é dado por

I L = ∬ S δ x , y , z 2 f x , y , z d S

Onde δ ( x , y , z ) é a distância do ponto x , y , z de S até o eixo L .

Passo 2

Vamos definir nossas várias e vê como nossa integral se transforma com base em nosso problema.

f x , y , z é nossa densidade (massa por unidade de área), onde

k = m V = m a 3 = f x , y , z a → f x , y , z = a k

Olhando para a nossa parametrização, temos que nossa esfera se encontra na origem, tendo assim que a distância de qualquer ponto ao eixo y é dado por

y = a   s e n   u cos ⁡ v

Outro ponto importante é que nosso d S = d x d y se transforma em J   d θ   d ϕ , onde J é nosso jacobiano. Se chegamos aqui, no último exercício da seção, espero que você já saiba calcular esse nosso amigo para coordenada esférica. Assim já trazemos que J = a 2 cos ⁡ u .

Assim nossa integral será

I y = ∫ 0 2 π ∫ - π / 2 π / 2 a 2 s e n 2 u cos 2 ⁡ v   a k   a 2 cos ⁡ u d v   d u

Uma integral que só falta um detalhe. Como integramos?

Passo 3

Resumimos nossa integral em

I y = k a 5 ∫ 0 2 π s e n 2 u cos ⁡ u   d u   ∫ - π / 2 π / 2 cos 2 ⁡ v   d v

A primeira integral, fazemos sen ⁡ u = m → cos ⁡ u   d u = d m

Perceba que seno é uma função ímpar, mas seno ao quadrado é par. Cosseno também é par, logo s e n 2 u cos ⁡ u é uma função par. Isso quer dizer que em intervalo simétricos, podemos tomar metade do nosso intervalo e multiplicar por 2 nossa integral. Vamos fazer 2 vezes isso?

Assim temos que

∫ 0 2 π s e n 2 u cos ⁡ u   d u = 4 ∫ 0 π 2 s e n 2 u cos ⁡ u   d u = 4 ∫ 0 1 m 2 d m = 4 3

A segunda parte também vamos fazer o mesmo, assim

∫ - π / 2 π / 2 cos 2 ⁡ v   d v = 2 ∫ 0 π / 2 cos 2 ⁡ v d v

Entretanto aqui vamos fazer mais uma transformação.

Tome que

cos ⁡ ( a + b ) = cos ⁡ a cos ⁡ b - s e n   a   s e n   b

Assim

cos ⁡ 2 u = cos 2 ⁡ u - s e n 2 u

E tomando que

cos 2 ⁡ u + s e n 2 u = 1

Então temos que

cos ⁡ 2 u = cos 2 ⁡ u - 1 - cos 2 ⁡ u → cos 2 ⁡ u = 1 + cos ⁡ 2 u 2

Assim temos

2 ∫ 0 π / 2 cos 2 ⁡ v d v = 2 ∫ 0 π / 2 ( 1 + cos ⁡ 2 u ) 2 d u = u 0 π 2 + s e n   v 2 0 π = π 2

Assim temos que nosso momento de inércia com relação ao eixo y será

I y = 4 3 k a 5 π 2  

Tomando pelo item a) que a = 4 , então temos

I y = 2048 π k 3

Resposta

I y = 2048 π k 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja S a parte da esfera x 2 + y ² + z ² = 25 ² ² que está acima do plano z = 4 . Se S tiver densidade constante k , encontre ( a ) o centro de massa e ( b ) o momento de inércia em torno do eixo z .
38- A superfície cônica z 2 = x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ a tem densidade constante k . Determine a ) o centro de massa e b ) o momento de inércia em torno do eixo z .
Uma lâmina tem a forma da superfície lateral do cone z 2 = 4x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 2 . Calcular a massa da lâmina se a densidade no ponto x , y , z é proporcional à distância desse ponto ao eixo z
Calcular o centro de massa da parte da superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 = 16 , que esta abaixo do plano z = 2 e acima do plano xy supondo a densidade constante
Uma lâmina tem a forma da parte do plano z = 2 y + 1 recortada pelo cilindro x 2 + y - 2 2 = 4. Determine a massa dessa lamina se a densidade no ponto ( x,y,z) é proporcional à distancia desse ponto a