Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 40
Calcular o centro de massa da parte da superfície esférica que esta abaixo do plano e acima do plano xy supondo a densidade constante
Passo 1
Estamos trabalhando com uma esfera. Podemos pensar nela como uma uniao de vários um em cima do outro. Logo, por essa ideia, podemos pensar que o centro de massa de cada circulo vai estar posicionado no centro do circulo, já que a densidade é constante e simetria radial.
Por esse argumento o centro de massa em é localizado em . Agora só basta encontrar o centro de massa em z
A equação do centro de massa é
Vamos calcular a parte de baixo primeiro. E antes que vocês pensem, não podemos cortar o f de baixo com o f de cima. Infelizmente. ☹
A região que vamos projetar é uma corora circular que vamos descobrir os intervalos
Logo o raio é
Passo 2
Vamos calcular a parciais de z, onde z é
Assim
Vamos unir a integral. Lembrando que
Vamos calcular em Polar
Integrando temos
Passo 3
UFA! Que conta grande. Vamos agora para parte de cima do cálculo do centro de massa
Como já fizemos parte desse calculo vou adiantar alguns passos
Vamos parametrizar z
Logo nossa integral fica
Vamos calcular em polar
Logo temos que
logo o centro de massa fica em
Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução
: )
Resposta
Centro De massa em