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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 40

Calcular o centro de massa da parte da superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 = 16 ,   que esta abaixo do plano z = 2 e acima do plano xy supondo a densidade constante

Passo 1

Estamos trabalhando com uma esfera. Podemos pensar nela como uma uniao de vários um em cima do outro. Logo, por essa ideia, podemos pensar que o centro de massa de cada circulo vai estar posicionado no centro do circulo, já que a densidade é constante e simetria radial.

Por esse argumento o centro de massa em x   e   y é localizado em ( 0,0 ) . Agora só basta encontrar o centro de massa em z

A equação do centro de massa é

z - = ∫ ∫ S z f   d S ∫ ∫ S f   d S

Vamos calcular a parte de baixo primeiro. E antes que vocês pensem, não podemos cortar o f de baixo com o f de cima. Infelizmente. ☹

∫ ∫ S f   d S =   ∫ ∫ R f   x , y ,   z ( x , y )   1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

A região que vamos projetar é uma corora circular que vamos descobrir os intervalos

x 2 + y 2 + 2 2 = 16

x 2 + y 2 = 12

Logo o raio é

12 ≤ r ≤ 4

Passo 2

Vamos calcular a parciais de z, onde z é

x 2 + y 2 + z 2 = 16

z = 16 - x 2 - y 2

Assim

z x =   - x 16 - x 2 - y 2

z y =   - y 16 - x 2 - y 2    

Vamos unir a integral. Lembrando que f = c o n s t a n t e     c  

∫ ∫ R f   x , y ,   z x , y 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

c ∫ ∫ R 1 + - y 16 - x 2 - y 2   2 + - x 16 - x 2 - y 2   2 d y d x

c ∫ ∫ R 1 + x 2 + y 2 16 - x 2 - y 2 d y d x

c ∫ ∫ R 16 - x 2 - y 2 + x 2 + y 2 16 - x 2 - y 2 d y d x

4 c ∫ ∫ R 1 16 - x 2 - y 2 d y d x

Vamos calcular em Polar

4 c ∫ 0 2 π ∫ 12 4 1 16 - r ²   r d r d θ

Integrando temos

= 4 c   θ 0 2 π - 16 - r ² 12 4

= 8 π c - 0 + 16 - 12

= 16 π c

Passo 3

UFA! Que conta grande. Vamos agora para parte de cima do cálculo do centro de massa

∫ ∫ S z f   d S

Como já fizemos parte desse calculo vou adiantar alguns passos

4 c ∫ ∫ R z 1 16 - x 2 - y 2 d y d x

Vamos parametrizar z

z = 16 - x 2 - y 2

Logo nossa integral fica

4 c ∫ ∫ R 16 - x 2 - y 2 1 16 - x 2 - y 2 d y d x

4 c ∫ ∫ R d y d x

Vamos calcular em polar

4 c ∫ 0 2 π ∫ 12 4   r d r d θ

=   4 c   θ 0 2 π r 2 2 12 4

= 8 π c 2 4 2 - 12

= 16 π c  

Logo temos que

z - = ∫ ∫ S z f   d S ∫ ∫ S f   d S

z - = 16 π c 16 π c → 1  

logo o centro de massa fica em

( 0,0 , 1 )

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Centro De massa em 0,0 , 1

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Determine o centro de massa do hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , z ≥ 0 , se ele tiver densidade constante.
Determine a massa de um funil fino com o formato do cone z = x 2 + y 2 ,1 ≤ z ≤ 4 , se sua função densidade é ρ x , y , z = 10 - z .
Dê uma expressão integral para o momento de inércia I z em torno do eixo z de uma folha fina no formato da suerfície S , se a função densidade é ρ .Determine o momento de inércia em torno do eixo z do
Seja S a parte da esfera x 2 + y ² + z ² = 25 ² ² que está acima do plano z = 4 . Se S tiver densidade constante k , encontre ( a ) o centro de massa e ( b ) o momento de inércia em torno do eixo z .
Calcule o momento de inércia da superfície esférica de raio R , homogênea, de massa M , em torno de qualquer diâmetro. (Tal superfície deve ser imaginada como um corpo delgado e homogêneo)