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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.2 - Ex. 8

Calcular as integrais curvilíneas.

∫ C x 2 d s , C é o arco da hipociclóide x 2 3 + y 2 3 = a 2 3 , a > 0 , primeiro quadrante.

Passo 1

Vamos parametrizar a região primeiro. Fica assim:

x = a cos 3 ⁡ t

y = a   s e n 3 t

Aí a gente deriva essa parametrização...

γ ' t = - 3 a cos 2 ⁡ t s e n   t ,   3 a   s e n 2 t c o s   t

A norma:

9 a 2 cos 4 ⁡ t s e n 2 t + 9 a 2 s e n 4 t c o s 2 t

= 9 a 2 cos 2 ⁡ t s e n 2 t ( cos 2 ⁡ t + s e n 2 t )

= 9 a 2 cos 2 ⁡ t s e n 2 t 1

= 3 a cos ⁡ t   s e n   t  

E como tá no primeiro quadrante, a gente considera o intervalo de 0 , π 2 .

Passo 2

Vamos montar a integral agora:

∫ 0 π 2 a 2 cos 6 ⁡ t ( 3 a   c o s t   s e n   t )   d t

3 a 3 ∫ 0 π 2 cos 7 ⁡ t s e n   t d t

Vamos fazer u = cos ⁡ t → d u = - s e n   t .

- ∫ u 7 d u  

- u 8 8

Voltamos pra variável t agora...

3 a 3 - cos 8 ⁡ t 8 0 π 2 =   3 a 3 1 8

= 3 a 3 8

Prontinho😉

Resposta

3 a 3 8

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