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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.2 - Ex. 12

Calcular as integrais curvilíneas.

∫ C x y   d s , onde C   é a elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 .

Passo 1

Vamos começar parametrizando a região. Nesse caso é uma elipse, lembra como parametriza elipse? É tipo o círculo, assim:

x = a cos ⁡ t y = b   s e n   t     t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Aqui não tem z , então a gente considera que está no plano mesmo.

Agora a gente deriva essa parametrização:

γ ' = - a   s e n   t ,   b cos ⁡ t

E pra terminar de montar a integral falta o d s , que é a norma dessa derivada aí:

d s = - a   s e n   t 2 + b cos ⁡ t 2

d s = a 2 s e n 2 t + b 2 cos 2 ⁡ t

Passo 2

Vamos montar a integral agora...

∫ 0 2 π ( a cos ⁡ t )   b   s e n   t a 2 s e n 2 t + b 2 cos 2 ⁡ t   d t

∫ 0 2 π a b   s e n   t   c o s   t   a 2 s e n 2 t + b 2 cos 2 ⁡ t   d t

Fazendo u = a 2 s e n 2 t + b 2 cos 2 ⁡ t temos d u = 2 a 2 s e n   t c o s   t - 2 b 2 c o s t   s e n   t   d t

d u = s e n   t cos ⁡ t 2 a 2 - 2 b 2   d t → d u 2 a 2 - 2 b 2 = s e n   t cos ⁡ t   d t

Substituímos agora...

a b ∙ 1 2 a 2 - 2 b 2 ∫ u   d u

a b 2 a 2 - 2 b 2 2 3 u 3 2

Passo 3

Voltamos pra t ...

a b 2 a 2 - 2 b 2 2 3 a 2 s e n 2 t + b 2 cos 2 ⁡ t 3 2 0 2 π

a b 2 a 2 - 2 b 2 2 3 s e n 2 2 π + b 2 cos 2 ⁡ 2 π - s e n 2 0 - b 2 cos 2 ⁡ 0 3 2

a b 2 a 2 - 2 b 2 [ 2 3 0 + b 2 - 0 - b 2

a b 2 a 2 - 2 b 2 0 = 0

E... é isso!

Resposta

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Calcule ∫ γ x y z d s Onde γ t = cos ⁡ t ,s e nt , t , 0 ≤ t ≤ 2 π
Calcule ∫ γ 2 x y + y 2 d s Onde γ t = ( t + 1 , t - 1 ) , 0 ≤ t ≤ 1
Calcule ∫ C f d s , onde b )f x ,y = x 2 - y 2 e C é a circunferência x 2 + y 2 = 4 .
Calcule ∫ C f d s , onde c )f x ,y = y 2 e C tem equações paramétricas x = t - s e n t ,y = 1 - cos ⁡ t ,0 ≤ t ≤ 2 π .
4. Calcule ∫ C F ⋅ dr → Ondec. Fx , y = y + 3 x , 2 y - x e C é a elipse 4 x 2 + y 2 = 4 , percorrida no sentido anti-horario