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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.2 - Ex. 4

Calcular as integrais curvilíneas.

∫ C y d s , onde C é a curva dada por y = x 3 de - 1 , - 1   a   ( 1,1 ) .

Passo 1

Vamos parametrizar usando x = t , a parametrização então é:

γ t = t ,   t 3

Pra fazer o d s a gente tem que derivar e fazer a norma:

γ ' t = 1 ,   3 t 2

γ ' t = 1 2 + 3 t 2 2 = 1 + 9 t 4

O intervalo de t é de - 1   a   1 , pelos pontos.

Passo 2

Como temos um módulo, temos que separar em duas partes, uma positiva e outra negativa:

∫ - 1 0 - y   d s + ∫ 0 1 y   d s

Agora a gente faz as substituições...

∫ - 1 0 - t 3 1 + 9 t 4 d t + ∫ 0 1 t 3 1 + 9 t 4 d t  

Fazemos u = 1 + 9 t 4 e temos d u = 36 t 3   d x → d u 36 = t 3 d x :

- 1 36 2 3 u 3 2 + 1 36 2 3 u 3 2

(não corta porque estão em intervalos diferentes!)

Vamos voltar para t agora...

Passo 3

- 2 108 1 + 9 t 4 3 2 - 1 0 + 2 108 1 + 9 t 4 3 2 0 1

=   - 1 54 1 - 10 3 2 + 1 54 10 3 2 - 1

=   - 1 54 - 1 54 + 1 54 10 3 2 + 1 54 10 3 2

= 2 54 10 3 2 - 2 54

= 10 3 2 - 1 27

Prontinho😉

Resposta

10 3 2 - 1 27

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