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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.2 - Ex. 9

Calcular as integrais curvilíneas.

∫ C y 2   d s , onde C é o primeiro arco da cicloide:

r - t = 2 t - s e n   t i → + 2 ( 1 - cos ⁡ t ) j -

Passo 1

Aqui a gente tem a parametrização, vamos fazer o d s agora...

r ' → t = ( 2 - 2 cos ⁡ t ,   2 s e n   t )

r ' → t = 2 - 2 cos ⁡ t 2 + 2   s e n   t 2

= 4 - 8 cos ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ t + 4   s e n 2 t

= 4 - 8 cos ⁡ t + 4

= 8 - 8 cos ⁡ t

=   2 2 1 - cos ⁡ t

Considerando que é o primeiro arco da cicloide, o intervalo de t é 0 ,   2 π .

Passo 2

Vamos montar a integral agora...

∫ 0 2 π 4 1 - cos ⁡ t 2 2 2 1 - cos ⁡ t d t

8 2 ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ t 5 2   d t

8 2 - 3 cos ⁡ 5 x 2 - 25 cos ⁡ 3 x 2 + 150 cos ⁡ x 2 15 2 0 2 π

8 - 3 cos ⁡ 5 π + 25 cos ⁡ 3 π - 150 cos ⁡ π - ( - 3 cos ⁡ 0 + 25 cos ⁡ 0 - 150 cos ⁡ 0 ) 15

8   3 - 25 + 150 - ( - 3 + 25 - 150 ) 15

= 2048 15

E essa é a integral de linha procurada😉

Resposta

2048 15

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Determine o valor exato de ∫ C x 3 y 5d s , onde C é a parte da astróide x = cos 3 ⁡ t , y = s e n 3 t no primeiro quadrante.
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C yd s C : x = t 2 ,y = t ,0 ≤ t ≤ 2
29- Se C é a curva com equações paramétricas x = ln ⁡ t , y = e - t , 1 ≤ t ≤ 2 , use uma calculadora ou CAS para calcular a integral de linha ∫ C xs e nyd s com precisão até a terceira casa decimal.
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C 2 x yd s , onde C é o arco de circunferência x 2 + y 2 = 4 de 2,0a1 ,3