Calcular o trabalho realizado pela força f → = ( y , z , x ) para deslocar um partícula ao longo da hélice r → t = cos ⁡ t ,   s e n   t ,   2 t de t = 0 a t = 2 π .

Passo 1

Vamos lá, trabalho a gente calcula usando a integral:

∫ a b F σ t ∙ σ ' t d t

Onde F é a força e σ ( t ) é o caminho parametrizado.

Aqui a gente já tem a parametrização, vamos fazer a derivada:

r ' t = ( - s e n   t , cos ⁡ t ,   2 )

Agora é só aplicar na integral do trabalho...

Passo 2

W = ∫ 0 2 π ( s e n   t ,   2 t , cos ⁡ t )   - s e n   t , cos ⁡ t ,   2 d t

= ∫ 0 2 π -   s e n 2 t + 2 t cos ⁡ t + 2 cos ⁡ t   d t

Integramos agora:

- 1 t 2 + 1 4 s e n   2 t + 2 t s e n   t + 2 cos ⁡ t + 2   s e n   t 0 2 π

= - 2 π 2 + 0 + 0 + 2 + 0 - 0 - 0 - 0 - 2 - 0

W = - π

Prontinho! Trabalho calculado😉

Resposta

W = - π

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