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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo - Ex.

Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar:

∫ y   d x + z d y + x d z

C : x = t ,   y = t ,   z = t 2 ,     1 ≤ t ≤ 4

Passo 2

Nesse exercício podemos aplicar diretamente a fórmula 7 vista nessa seção, só precisamos calcular o valor das derivadas em relação a t , sendo assim:

d x d t = 1 2 t - 1 / 2

d y d t = 1

d z d t = 2 t

Agora, substituindo o valor das expressões na fórmula 7, temos:

∫ y   d x + z d y + x d z = ∫ 1 4 t 1 2 t - 1 2 d t + t 2 d t + t 2 t   d t

Reagrupando os termos e colocando d t em evidência, temos:

∫ 1 4 1 2 t 1 2 + t 2 + 2 t 3 2   d t

Passo 3

Agora, resolvendo a integral para t , temos:

1 3 t 3 / 2 + 1 3 t 3 + 4 5 t 5 / 2 1 4 = 1 3 4 3 / 2 + 1 3 4 3 + 4 5 4 5 / 2 - 1 3 1 3 / 2 + 1 3 1 3 + 4 5 1 5 / 2

8 3 + 64 3 + 128 5 - 1 3 - 1 3 - 4 5 = 722 15

Dessa forma, o valor da integral é:

∫ y   d x + z d y + x d z = 722 15

Resposta

∫ y   d x + z d y + x d z = 722 15

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Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C ( x 2 + y 2 + z 2 )d s , onde C é a interseção das superfícies x 2 16 + y 2 9 + z 2 16 = 1ey = 2 .
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C ( x + y ) , onde C é a interseção das superfícies z = x 2 + y 2ez = 4 .
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C 2 x - y + z d s , onde C é o segmento de reta que liga A ( 1,2 , 3 ) a B = 2,0 , 1 .
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C 3 y - z d s , onde C é o arco da parábola z = y 2 ,x = 1 ,d eA 1,0 , 0 aB 1,2 , 4 .
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C x zd s , onde C é a interseção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 com o plano x = y .