Calcular as integrais curvilíneas.

∫ C ( x + y ) , onde C é a interseção das superfícies z = x 2 + y 2   e   z = 4 .

Passo 1

Vamos fazer a interseção primeiro. Vai ser:

x 2 + y 2 = 4

Beleza, isso é um círculo de raio 2. A gente parametriza agora:

γ t = x = 2 cos ⁡ t y = 2 s e n   t z = 4

Onde o intervalo de t é [ 0,2 π ] . Vamos derivar essa parametrização agora...

γ ' t = ( - 2 s e n   t , 2 cos ⁡ t ,   0 )

Vamos fazer a norma...

γ t = 4 s e n 2 t + 4 cos 2 ⁡ t = 4 = 2 = d s

Passo 2

Beleza, agora a gente monta a integral de linha...

∫ 0 2 π ( 2 cos ⁡ t + 2   s e n   t ) 2 d t  

∫ 0 2 π 4 cos ⁡ t + 4 s e n   t   d t

4 s e n   t - 4 cos ⁡ t 0 2 π

= 0 - 4 - 0 + 4

= 0

Pronto! É isso😉

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