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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.2 - Ex. 7

Calcular as integrais curvilíneas.

∫ C 2 x y   d s , onde C é o arco de circunferência x 2 + y 2 = 4 de 2,0   a   1 ,   3

Passo 1

Beleza, isso é um círculo de raio 2. A gente parametriza agora:

γ t = x = 2 cos ⁡ t y = 2   s e n   t

A gente precisa descobrir o intervalo. A gente pode fazer assim:

x = 2 cos ⁡ t = 2 → cos ⁡ t = 1 y = 2   s e n   t = 0 → s e n   t = 0         t = 0

x = 2 cos ⁡ t = 1 → cos ⁡ t = 1 2 y = 2   s e n   t = 3 → s e n   t = 3 2       t = π 3

Vamos derivar essa parametrização agora...

γ ' t = ( - 2 s e n   t ,   2 cos ⁡ t )

Vamos fazer a norma...

γ t = 4 s e n 2 t + 4 cos 2 ⁡ t = 4 = 2 = d s

Passo 2

Beleza, agora a gente monta a integral de linha...

∫ 0 π 3 ( 2 cos ⁡ t + 2   s e n   t ) 2 d t  

∫ 0 π 3 2 ( ( 2 cos ⁡ t ) ( 2   s e n   t ) )   2 d t

∫ 0 π 3 16 cos ⁡ t   s e n   t d t  

16 s e n 2 t 2 0 π 3 = 16 2 3 4 = 6

Prontinho😉

Resposta

6

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Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C x y zd s C : x = 2s e nt ,y = t ,z =- 2 c o s c o st com 0 ≤ t ≤ π
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