Enunciado

Calcular as integrais curvilíneas.

∫ C ( x + y - 1 )   d s , onde C   é a parte da interseção das superfícies z = x 2 + y 2   e   y = 1 e que está abaixo do plano z = 5 .

Passo 1

Vamos fazer essa interseção primeiro...

z = x 2 + y 2 y = 1

z = x 2 + 1

Vamos fazer x = t , e parametrizar assim:

x = t y = 1 z = t 2 + 1

Como está abaixo do plano z = 5 , temos:

t 2 + 1 ≤ 5

t 2 ≤ 4

t ≥ - 2   e   t ≤ 2

O intervalo de t então é [ - 2,2 ] .

Passo 2

Vamos montar a integral de linha agora.

Pra isso a gente precisa derivar a parametrização e depois fazer a norma (que é o d s ) :

C ' t = ( 1,0 , 2 t )

C ' t = 1 2 + 0 2 + 2 t 2 = 1 + 4 t 2

Beleza, vamos montar a integral agora...

∫ - 2 2 ( t + 1 - 1 ) ( 1 + 4 t 2 )   d t

∫ - 2 2 t 1 + 4 t 2 d t

Passo 3

Vamos fazer uma substituição agora:

u = 1 + 4 t 2

d u = 8 t   d t

d u 8 = t   d t

Vamos resolver a integral indefinida em u agora:

1 8 ∫ u   d u

1 8 2 3 u 3 2

Agora vamos voltar pra variável t ...

1 12 1 + 4 t 2 3 2 - 2 2

1 12 17 3 2 - 17 3 2

= 0

Isso mesmo, deu zero haha...

Resposta

0

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