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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.5 - Ex. 3

Calcule a massa do fio gamma (t) = (cos t s e n t , t) , 0 <= t <= pi , com densidade linear delta (x , y , z) = x^2 + y^2 + z^2

Passo 1

Nosso exercício requer que saibamos de algumas coisinhas. A primeira dela é que

M = int_gamma d m

E que

d m = delta (x , y , z) d s

E agora devemos fazer algumas transformações para conseguimos resolvemos nosso problema.

Em nosso capítulo, Integral de linha relativa ao comprimeiro de arco, função f (X) contínua, definida na imagem de gamma , pode ser reescrita como

int_gamma f (X) d s = int_a^b f (gamma (t)) | |gamma^' (t)| | d t

E será assim que podemos resolver

Passo 2

Como sugerimos resolver nosso problema no passo 1, vamos calcular

f (gamma (t)) = delta (gamma (t)) = (cos t)^2 + (s e n t)^2 + t^2 = 1 + t^2

E além disso temos

||gamma^' (t)|| = sqrt((- s e n t)^2 + (cos t)^2 + 1) = sqrt(2)

Assim podemos escrever nossa integral como

int_0^(pi) sqrt(2) (1 + t^2) d t = sqrt(2) [t + (t^3)/(3)]_0^(pi) = pi sqrt(2) [1 + (pi^2)/(3)]

Valor que bate com a resposta que encontramos no livro e nos deixa bastante feliz

Resposta

pi sqrt(2) [1 + (pi^2)/(3)]

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