Calcule a massa do fio γ t = t , 2 t , 3 t , 0 ≤ t ≤ 1 , cuja densidade linear é δ x , y , z = x + y + z .

Passo 1

Nosso exercício requer que saibamos de algumas coisinhas. A primeira dela é que

M = ∭ B d m

E que

d m = δ x , y , z   d x d y d z

E agora devemos fazer algumas transformações para conseguimos resolvemos nosso problema.

Em nosso capítulo, Integral de linha relativa ao comprimeiro de arco, função f X contínua, definida na imagem de γ , pode ser reescrita como

∫ γ f X d s = ∫ a b f γ t | γ ' t |   d t

E será assim que podemos resolver

Passo 2

Como sugerimos resolver nosso problema no passo 1, vamos calcular

f γ t = δ γ t = t + 2 t + 3 t = 6 t

E além disso temos

γ ' t = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14

Assim podemos escrever nossa integral como

∫ 0 1 6 t 14 d t = 6 14 ∫ 0 1 t d t = 3 14 t 0 1 = 3 14  

Valor que bate com a resposta que encontramos no livro e nos deixa bastante feliz

Resposta

3 14

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