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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.9 - Ex. 13

Calcular a integral indefinida.

int (d x)/(s e n x + cos x)

Passo 1

Vamos lá, aqui a gente tem uma função racional de seno e cosseno.

O próprio livro dá o macete pra resolver esse tipo de integral. Nesse caso aqui vai ficar

t = t g (x)/(2)

E com isso a gente tem que:

s e n x = (2 t)/(1 + t^2) ; cos x = (1 - t^2)/(1 + t^2) e d x = (2 d t)/(1 + t^2)

Passo 2

Substituindo vai ficar assim:

int ((2 d t)/(1 + t^2))/((2 t)/(1 + t^2) + (1 - t^2)/(1 + t^2))

= int (((2 d t)/(1 + t^2))/(2 t + 1 - t^2))/(1 + t^2)

= - int (2 d t)/(t^2 - 2 t - 1)

Aí agora a gente fatora esse denominador:

= - int (2 d t)/((t - 1 - sqrt(2)) (t - 1 + sqrt(2)))

Passo 3

Pra a gente integrar esse último, vamos usar frações parciais:

(2)/((t - 1 - sqrt(2)) (t - 1 + sqrt(2))) = (A)/(t - 1 - sqrt(2)) + (B)/(t - 1 + sqrt(2))

Aí a gente desenvolve...

2 = A (t - 1 + sqrt(2)) + B (t - 1 - sqrt(2))

Bom, daqui a gente encontra que:

A = (1)/(2 sqrt(2)) e B = - (1)/(2 sqrt(2))

E aí a gente pode reescrever nossa integral e calcular...

- 2 ((1)/(2 sqrt(2))) (int (1)/(t - 1 - sqrt(2)) - (1)/(t - 1 + sqrt(2)) d t)

= - (1)/(sqrt(2)) ln |t - 1 - sqrt(2)| + ln |t - 1 + sqrt(2)| + C

Agora a gente volta pra nossa variável inicial...

- (1)/(sqrt(2)) ln |t g (x)/(2) - 1 - sqrt(2)| + (1)/(sqrt(2)) ln |t g (x)/(2) - 1 + sqrt(2)| + C

Prontinho! Essa é a integral😉

Resposta

- (1)/(sqrt(2)) ln |t g (x)/(2) - 1 - sqrt(2)| + (1)/(sqrt(2)) ln |t g (x)/(2) - 1 + sqrt(2)| + C

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Em alguns casos, o segundo método para o cálculo de integrais definidas tem vantagens claras sobre o primeiro. Forneça alguns exemplos e escreva um parágrafo discutindo as vantagens do segundo método
Os dois métodos de substituição discutidos nesta seção dão o mesmo resultado quando usados para calcular uma integral definida. Escreva um parágrafo curto explicando por que isso ocorre.
1-4. Expresse a integral em termos da variável u , mas não a calcule.4. a) ∫ 1 3 a r ct gx 1 + x 2 d x ; u = a r ct gx
1-4. Expresse a integral em termos da variável u , mas não a calcule.3. a) ∫ 0 1 e 2 x - 1 d x ; u = 2 x - 1
1-4. Expresse a integral em termos da variável u , mas não a calcule.1. a) ∫ 1 3 2 x - 1 3 d x ; u = 2 x - 1