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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.6 - Ex. 9.d

9. Calcular ∫ C f → ⋅ d r →   , onde f → = r → r → 3 , r → = x , y , z , ao longo dos seguintes caminhos:

(d) intersecção das superfícies z = x 2 + y 2 , x=2, do ponto A(2,0,2) a B(2,4,2 5 )

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas parciais de primeira ordem para saber se é conservativo.

Sendo

f 1 = x x 2 + y 2 + z 2 3 2

f 2 = y x 2 + y 2 + z 2 3 2

f 3 = z x 2 + y 2 + z 2 3 2

As derivadas

∂ f 1 ∂ y = 2 x y x 2 + y 2 + z 2 5 2

∂ f 2 ∂ x = 2 x y x 2 + y 2 + z 2 5 2

∂ f 1 ∂ z = 2 x z x 2 + y 2 + z 2 5 2

∂ f 3 ∂ x = 2 x z x 2 + y 2 + z 2 5 2

∂ f 2 ∂ z = 2 y z x 2 + y 2 + z 2 5 2

∂ f 3 ∂ y = 2 y z x 2 + y 2 + z 2 5 2

Como ∂ f 1 ∂ y = ∂ f 2 ∂ x = 2 x y x 2 + y 2 + z 2 5 2 ,   ∂ f 1 ∂ z = ∂ f 3 ∂ x = 2 x z x 2 + y 2 + z 2 5 2   e ∂ f 2 ∂ z = ∂ f 3 ∂ y = 2 y z x 2 + y 2 + z 2 5 2 , então é conservativo.

Passo 2

Agora vamos determinar a função potencial u(x,y,z).

Temos

∂ u ∂ x = x x 2 + y 2 + z 2 3 2                 1

∂ u ∂ y = y x 2 + y 2 + z 2 3 2                 2

∂ u ∂ z = z x 2 + y 2 + z 2 3 2                     3

Integrando a equação (1) em relação a x, ficamos com

u = ∫ x x 2 + y 2 + z 2 3 2   d x

u = - 1 x 2 + y 2 + z 2 1 2 + a y , z

Obs: aqui a y , z é a constante de integração (ela é constante em relaçao a x)

Agora derivamos esse resultado em relação a y

∂ u ∂ y = y x 2 + y 2 + z 2 3 2 + ∂ a ∂ y

Se compararmos agora com a equação (2), percebemos que

∂ a ∂ y = 0

Então a é constante em relação a y também, então podemos escrever a z .

Substituindo na expressão de u

u = - 1 x 2 + y 2 + z 2 1 2 + a z

Derivando esse resultado em relação a z

∂ u ∂ z = z x 2 + y 2 + z 2 3 2 + ∂ a ∂ z

Comparando com a equação (3), temos que

∂ a ∂ z = 0

Então a é constante e substituimos por C.

Onde C é a constante de integração final.

Substituindo na expressão de u

u = = - 1 x 2 + y 2 + z 2 1 2 + C

Por final, temos

∫ 0,1 , 1 1,0 , 1 2 x y   d x + x 2   d y + 2   d z = u 2 , 4 , 2 5 - u 2 , 0 , 2

= ( - 1 2 2 + 4 2 + 2 5 2 1 2 + C ) - ( - 1 2 2 + 0 2 + 2 2 1 2 + C )

= - 1 2 10 + C + 1 2 2 - C

= - 10 20 + 2 4

= 5 2 - 10 20

Resposta

5 2 - 10 20

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