Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.6 - Ex. 2b
Verificar se o campo vetorial dado é conservativo. Em caso positivo, determinar uma função potencial para e o valor , onde ,,
Passo 1
Olá amiguinhos ...
Teremos que, para que um campo vetorial ser conservativo, uma das condições é que o rotacional seja nulo. Corrigindo um possível erro que o enunciado nos dá, é que somente saberemos se o caso é afirmativo se existir a função potencial, logo não podemos confirmar antes de procurá-la. Mas vamos começar.
O rotacional é definido como
Caso o rotacional for zero, seguimos o passo a passo para determinar a função potencial durante nosso exercício, ok?
Passo 2
Vamos calcular o rotacional da função dada, mas para isso vamos tentar calcular apenas uma derivada, visto que temos um problema de simetria.
Fazendo
Como todas as derivadas terminam no mesmo lugar, temos
E é com extrema tristeza que o rotacional de zero. Logo devemos caminhar em nosso problema e descobrir qual é a função potencial que leva ao nosso campo.
Passo 3
Dada uma função potencial, temos que a campo vetorial é definido como
Assim vamos seguir o caminho reverso para calcular nossa função potencial .
A ideia é, quando aplicamos o gradiente ,, temos
Assim fazemos
Onde é uma constante que depende somente de e .
A ideia é, se derivarmos o que acabamos de encontrar deveríamos obter a componente do nosso campo. Então vamos derivar
O que nos leva a conclusão de que , ou seja, nossa constante não depende de .
Agora se derivarmos em relação a , devemos encontrar o valor de
E
Assim nossa função potencial é
Passo 4
Para calcular o trabalho, tomamos a integral