Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? Em que direção e sentido decresce mais rapidamente?

a) f x , y = 2 x 2 + x y + 2 y 2 em 1,1

Passo 1

A ideia nessa questão é lembrar que a direção de maior taxa de crescimento é a do vetor gradiente. Então vamos começar encontrando o vetor gradiente!

∇ f x , y = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j →

Substituindo a expressão de f :

∇ f x , y = ∂ 2 x 2 + x y + 2 y 2 ∂ x i → + ∂ 2 x 2 + x y + 2 y 2 ∂ y j →

Derivando parcialmente:

∇ f x , y = 4 x + y i → + x + 4 y j →

Passo 2

Para o ponto 1,1 :

∇ f 1,1 = 4 × 1 + 1 i → + 1 + 4 × 1 j →

Fazendo as contas:

∇ f 1,1 = 5 i → + 5 j →

Então a direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto 1,1 será a direção e o sentido do vetor 5 i → + 5 j → . Já a direção e sentido decresce mais rapidamente será oposto ao do vetor gradiente, portanto a do vetor - 5 i → - 5 j →

Resposta

A direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente: 5 i → + 5 j →

A direção e sentido a função dada decresce mais rapidamente: - 5 i → - 5 j →

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