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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.6 - Ex. 3a

Calcular a integral ∫ C f → ⋅ d r → , onde f → é o campo vetorial dado, ao longo de qualquer caminho que une o ponto A ( 1,1 , 0 ) a B 1,2 - 1 .

f → = s e n   x + 2 y i ^ + 2 x + cos ⁡ z j ^ + z - y   s e n   z k ^

Passo 1

Olá amiguinhos ...

Vamos calcular nosso problema de uma maneira bastante simples. Sabendo o ponto inicial, A , e o ponto final, B , podemos tomar que

∫ A B f → ⋅ d r → = F B - F A

Ficando apenas necessário determinarmos F

Passo 2

Vamos assumir inicialmente que o rotacional de f → seja nulo, condição necessária para que exista a F . Nossa suposição vem do enunciado já nos dá as ferramentas para calcular a integral. Mas caro aluno. Esse é um passo que é simples e eu tenho toda certeza que vocês conseguem. Acompanhe os Exercício 2(a,b,c,d,e) caso tenham dúvida.

Dada uma função potencial, temos que a campo vetorial é definido como

∇ F = f →

Assim vamos seguir o caminho reverso para calcular nossa função potencial F .

A ideia é, quando aplicamos o gradiente , ∇ F , temos

∇ F = ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y , ∂ F ∂ z = f →

Assim fazemos

∂ F ∂ x = s e n   x + 2 y → F = - cos ⁡ x + 2 y x + C ( y , z )

Onde C y , z é uma constante que depende somente de y e z .

A ideia é, se derivarmos o que acabamos de encontrar deveríamos obter a componente y do nosso campo. Então vamos derivar

∂ - cos ⁡ x + 2 y x + C ( y , z ) ∂ y = 2 x + C ' y , z = f y =   2 x + cos ⁡ z

O que nos leva a conclusão de que C ' y , z = cos ⁡ z → C y , z = s e n   z + C ( z ) , ou seja, nossa constante não depende de y .

Agora se derivarmos em relação a z , devemos encontrar o valor de f z

∂ - cos ⁡ x + 2 y x + s e n   z + C ( z ) ∂ z = cos ⁡ z + C ' z = z - y   s e n   z  

E C ' z = z - y   s e n   z - cos ⁡ z → C ( z ) = z 2 2 + y cos ⁡ z - s e n   z + C

Assim nossa função potencial é

F =   - cos ⁡ x + 2 y x + z 2 2 + y cos ⁡ z + C

Passo 3

Para calcular o trabalho, tomamos a integral, onde A ( 1,1 , 0 ) e B 1,2 , - 1

∫ A B f → ⋅ d r → = F B - F A = - cos ⁡ 1 + 4 + 1 2 + 2 cos ⁡ - 1 - ( - cos ⁡ 1 + 2 + 0 2 + cos ⁡ 0 )

= 9 2 + cos ⁡ 1 + cos ⁡ 1 - 3 = 3 2 + 2 cos ⁡ 1

Resposta

3 2 + 2 cos ⁡ 1

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