Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.6 - Ex. 3a

Calcular a integral ∫ C f → ⋅ d r → , onde f → é o campo vetorial dado, ao longo de qualquer caminho que une o ponto A ( 1,1 , 0 ) a B 1,2 - 1 .

f → = s e n   x + 2 y i ^ + 2 x + cos ⁡ z j ^ + z - y   s e n   z k ^

Passo 1

Olá amiguinhos ...

Vamos calcular nosso problema de uma maneira bastante simples. Sabendo o ponto inicial, A , e o ponto final, B , podemos tomar que

∫ A B f → ⋅ d r → = F B - F A

Ficando apenas necessário determinarmos F

Passo 2

Vamos assumir inicialmente que o rotacional de f → seja nulo, condição necessária para que exista a F . Nossa suposição vem do enunciado já nos dá as ferramentas para calcular a integral. Mas caro aluno. Esse é um passo que é simples e eu tenho toda certeza que vocês conseguem. Acompanhe os Exercício 2(a,b,c,d,e) caso tenham dúvida.

Dada uma função potencial, temos que a campo vetorial é definido como

∇ F = f →

Assim vamos seguir o caminho reverso para calcular nossa função potencial F .

A ideia é, quando aplicamos o gradiente , ∇ F , temos

∇ F = ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y , ∂ F ∂ z = f →

Assim fazemos

∂ F ∂ x = s e n   x + 2 y → F = - cos ⁡ x + 2 y x + C ( y , z )

Onde C y , z é uma constante que depende somente de y e z .

A ideia é, se derivarmos o que acabamos de encontrar deveríamos obter a componente y do nosso campo. Então vamos derivar

∂ - cos ⁡ x + 2 y x + C ( y , z ) ∂ y = 2 x + C ' y , z = f y =   2 x + cos ⁡ z

O que nos leva a conclusão de que C ' y , z = cos ⁡ z → C y , z = s e n   z + C ( z ) , ou seja, nossa constante não depende de y .

Agora se derivarmos em relação a z , devemos encontrar o valor de f z

∂ - cos ⁡ x + 2 y x + s e n   z + C ( z ) ∂ z = cos ⁡ z + C ' z = z - y   s e n   z  

E C ' z = z - y   s e n   z - cos ⁡ z → C ( z ) = z 2 2 + y cos ⁡ z - s e n   z + C

Assim nossa função potencial é

F =   - cos ⁡ x + 2 y x + z 2 2 + y cos ⁡ z + C

Passo 3

Para calcular o trabalho, tomamos a integral, onde A ( 1,1 , 0 ) e B 1,2 , - 1

∫ A B f → ⋅ d r → = F B - F A = - cos ⁡ 1 + 4 + 1 2 + 2 cos ⁡ - 1 - ( - cos ⁡ 1 + 2 + 0 2 + cos ⁡ 0 )

= 9 2 + cos ⁡ 1 + cos ⁡ 1 - 3 = 3 2 + 2 cos ⁡ 1

Resposta

3 2 + 2 cos ⁡ 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule int_C ( x y + y + z ) d s ao longo da curva r ( t ) = 2 t i + t j + ( 2 - 2 t ) k , 0 = t = 1
Encontre a integral de reta de ƒ(x, y) = yex² ao longo da curvar(t) = 4ti – 3tj, –1 ≤ t ≤ 2.
Trabalho Encontre o trabalho realizado pelo gradiente deƒ(x, y) = (x + y)2 no sentido anti-horário em torno da circunferência x2 + y2 = 4 de (2, 0) a si próprio.
Calcule J C F ⋅ d r para o campo vetorial F = y i - x j no sentido anti-horário ao longo da circunferência unitária x 2 + y 2 = 1 de ( 1,0 ) a ( 0,1 )
Trabalho Encontre o trabalho realizado pela força F = x y i + ( y - x ) j sobre o segmento de reta de ( 1,1 ) a ( 2,3 ) .