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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.6 - Ex. 3c

Calcular a integral ∫ C f → ⋅ d r → , onde f → é o campo vetorial dado, ao longo de qualquer caminho que une o ponto A ( 1,1 , 0 ) a B 1,2 - 1 .

f → = 2 x 2 y + y 2 + z i ^ + 2 3 x 3 + 2 x y + z 2 j ^ + x + 2 y z k ^

Passo 1

Olá amiguinhos ...

Vamos calcular nosso problema de uma maneira bastante simples. Sabendo o ponto inicial, A , e o ponto final, B , podemos tomar que

∫ A B f → ⋅ d r → = F B - F A

Ficando apenas necessário determinarmos F

Passo 2

Vamos assumir inicialmente que o rotacional de f → seja nulo, condição necessária para que exista a F . Nossa suposição vem do enunciado já nos dá as ferramentas para calcular a integral. Mas caro aluno. Esse é um passo que é simples e eu tenho toda certeza que vocês conseguem. Acompanhe os Exercício 2(a,b,c,d,e) caso tenham dúvida.

Dada uma função potencial, temos que a campo vetorial é definido como

∇ F = f →

Assim vamos seguir o caminho reverso para calcular nossa função potencial F .

A ideia é, quando aplicamos o gradiente , ∇ F , temos

∇ F = ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y , ∂ F ∂ z = f →

Assim fazemos

∂ F ∂ x = 2 x 2 y + y 2 + z → F = 2 3 x 3 + x y 2 + x z + C ( y , z )

Onde C y , z é uma constante que depende somente de y e z .

A ideia é, se derivarmos o que acabamos de encontrar deveríamos obter a componente y do nosso campo. Então vamos derivar

∂ 2 3 x 3 + x y 2 + x z + C ( y , z ) ∂ y = 2 x y + C ' y , z = f y = 2 3 x 3 + 2 x y + z 2

C ' y , z = 2 3 x 3 + z 2 → C y , z = 2 3 x 3 y + y z 2 + C ( z )

ou seja, nossa constante não depende de y .

Agora se derivarmos em relação a z , devemos encontrar o valor de f z

∂ 2 3 x 3 + x y 2 + x z + 2 3 x 3 y + y z 2 + C ( z ) ∂ z =   x + 2 y z + C ' z = x + 2 y z  

E C ' z = 0 → C z = C

Assim nossa função potencial é

F =   2 3 x 3 + x y 2 + x z + 2 3 x 3 y + y z 2 + C

Passo 3

Para calcular o trabalho, tomamos a integral, onde A ( 1,1 , 0 ) e B 1,2 , - 1

∫ A B f → ⋅ d r → = F B - F A = 2 3 + 4 - 1 + 4 3 + 2 - ( 2 3 + 1 + 0 + 2 3 + 0 )

= 14 3

Resposta

14 3

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Se você dispõe de um SCA que trace campos vetoriais (o comando para fazê-lo no Maple é “fieldplot” e no Mathematica é “PlotVectorField”), use-o para traçar F x ,y = ( y 2 - 2 x y )i + ( 3 x y - 6 x 2
Faça uma correspondência entre as funções f e os desenhos de seus campos vetoriais gradientes (rotulados de I - I V ). Justifique suas escolhas. f x ,y = s e n x 2 + y 2
Faça uma correspondência entre as funções f e os desenhos de seus campos vetoriais gradientes (rotulados de I - I V ). Justifique suas escolhas. f x ,y = x 2 + y 2
Faça uma correspondência entre as funções f e os desenhos de seus campos vetoriais gradientes (rotulados de I - I V ). Justifique suas escolhas. f x ,y = x ( x + y )
Faça uma correspondência entre as funções f e os desenhos de seus campos vetoriais gradientes (rotulados de I - I V ). Justifique suas escolhas. f x ,y = x + y 2