Calcular

∫ ∫ S x + z d S  

Onde S é a superfície plana 2 x   + 2 y   +   z   =   6 , no 1º octante

Passo 1

Podemos resolver esse exercício resolvendo a integral da seguinte maneira

∫ ∫ S f   d S =   ∫ ∫ R f   x , y ,   z ( x , y )   1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

Ou seja projetando a região no plano XY e parametrizando Z em função de X e Y

Primeiro vamos visualizar a região

Esse é um recorte do plano

2 x + 2 y + z = 6

Se a gente projetar no plano XY, nossa equação de parametrização será

z = 6 - 2 x - 2 y  

Mega fácil, certo?

E então nossa nova região será

Visto que a nossa região não é um cubo os intervalos de integração teriam que ser

y ∈ 0 ,   3 - x

x ∈ 0,3

Passo 2

Vamos achar as derivadas parciais de z

z = 6 - 2 x - 2 y  

z x =   - 2

z y =   - 2  

Vamos agora integrar nossa função

∫ 0 3 ∫ 0 3 - x f   x , y ,   z ( x , y )   1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

Passo 3

Vamos arregaçar as mangas e integrar

∫ 0 3 ∫ 0 3 - x x + 6 - 2 x - 2 y 1 + - 2 2 + - 2 2 d y d x

= 3 ∫ 0 3 ∫ 0 3 - x x + 6 - 2 x - 2 y d y d x

= 3 ∫ 0 3 ∫ 0 3 - x 6 - x - 2 y   d y d x

=   3 ∫ 0 3 6 y - x y - 2 y 2 2 y =   0 3 - x     d x

= 3 ∫ 0 3 6 3 - x - x 3 - x - 3 - x 2   d x  

Ficou bizarro, integrar assim ficaria muito chato. Vamos pôr em evidencia (   3 - x   )  

3 ∫ 0 3 3 - x 6 - x - 3 + x   d x  

Muito mais fácil agora!!!

3 ∫ 0 3 3 - x 3   d x  

=   9 ∫ 0 3 3 - x   d x  

= 9   3 x - x 2 2 0 3

= 9   9 - 9 2

= 81 2

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ S x + z d S   = 81 2

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