Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 22b

Uma superfície S é representada pela equação vetorial

r → u , v = cos ⁡ v   i → + s e n   v   j → + u   k → ,   0 ≤ u ≤ 4 ,   ≤ v ≤ 2 π .

Determinar a área de S

Passo 1

Temos que a área de uma superfície pode ser definida por

A S = ∬ R 1 + ∂ f x , y ∂ x 2 + ∂ f x , y ∂ y 2 d x d y

Onde f x , y é a função que descreve nossa superfície e R é a área que nossa superfície projeta no plano de integração.

Entretanto, “outra forma” de achar a superfície, que na verdade é a mesma coisa e não iremos demostrar aqui, é que dado uma parametrização de nossa superfície, definida em r → u , v , temos que

A S = ∬ B ∂ r → ∂ u ∧ ∂ r → ∂ v d u d v  

Onde B é uma transformação de R corrigida pelo que chamamos de Jacobiano, onde o Jacobiano é o nosso

J = ∂ r → ∂ u ∧ ∂ r → ∂ v

Passo 2

Vamos tomar nosso r → u , v = s e n   v   i → + cos ⁡ v   j → + u   k → e fazer o que parece ser o mais certo fazer hahaha. Vamos tomar nossas derivadas direcionais

∂ r → ∂ u = ( 0,0 , 1 )

E

∂ r → ∂ v = ( - s e n   v , cos ⁡ v , 0 )

Assim temos que

J = i ^ j ^ k ^ 0 0 1 - s e n   v cos ⁡ v 0 = | - cos ⁡ v i ^ - s e n   v   j ^ + 0 k | ^ = - cos ⁡ v 2 + - s e n   v 2 = 1

Nossos limites de integração são definidos pela parametrização das coordenadas cilíndricas com r ∈ [ 0,1 ] e θ ∈ [ 0,2 π ] .

Assim vamos integrar nossa superfície

A S = ∫ 0 4 ∫ 0 2 π d v d u = 8 π

Resposta

8 π   u . a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a área das seguintes superfíciesg) Superfície da esfera de raio a centrada na origem limitada por dois planos paralelos e dois meridianos, sabendo-se que o ângulo entre os meridianos é α e a d
Considere γ o arco da parábola z = 3 - y 2 no plano y z compreendido entre as semi-retas z = z = 2 y e z = 11 2 y , com y ≥ 0 . Seja S a superfície obtida girando-se γ em torno do eixo z . Pede-se:Uma
Calcule a área das seguintes superfícies. d) Superfície da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 12 que não está no interior do paraboloide z = x 2 + y 2 .
∬_S (x^2 + y^2) d S , onde S é a esfera x^2 + y^2 + z^2 = a^2 .
Seja S a superfície obtida girando-se a curva plana z = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 em torno do eixo z . Calcule ∬ S 1 | x y | x 2 + y 2 d s , onde S 1 é a porção de S que se encontra no interior do cilindro