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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.6 - Ex. 1e

  1. Calcular ∬_r^() f (x , y) d x d y , onde:

e) f (x , y) = (1)/(x + y) ; R é o quadrado: 1 <= x <= 2 ; 1 <= y <= 2 .

Passo 1

Calcula a integral iterada:

∬_(1 1)^(2 2) (1)/(x + y) d x d y

Passo 2

Integrar com relação a x . Trate y como uma constante no primeiro caso, por conta da primeira integral ser em relação a x .

int_1^2 (1)/(x + y) d x =

(ln |x + y||_1^2 =

= ln | 2 + y | - ln | 1 + y |

Passo 3

Agora vamos integrar em função de y , levando em conta o valor obtido na integral de x . Assim temos:

int_1^2 ( ln | 2 + y | - ln | 1 + y | ) d y =

Vamos dividir em duas integrais para ficar mais fácil:

int_1^2 ln | 2 + y | d y - int_1^2 ln | 1 + y | d y

Vamos resolver o primeiro termo:

int_1^2 ln |2 + y| d y

Usando integrais por partes, temos:

u = y + 2

d u = d y

int ln u d u =

v = ln u ⟹ d v = (1)/(u) d u

d v = d u => v = u

int u d v = u v - int v d u

= u ln u - int u * (1)/(u) d u

= u l n u - u

Voltando com u = 2 + y

int_1^2 ln |2 + y| d y =

((2 + y) ln (2 + y) - y - 2|_1^2 =

= 4 ln 4 - 3 ln 3 - 1

Passo 4

Se você reparar bem, o segundo termo é exatamente igual o primeiro, mudando apenas o número dentro do l n , logo é o mesmo resultando, trocando apenas o 2 p e l o 1 .

int_1^2 ln |1 + y| d y =

= ((1 + y) ln (1 + y) - y - 1|_1^2 =

3 ln 3 - 2 ln 2 - 1

Passo 5

int_1^2 ln | 2 + y | d y - int_1^2 ln | 1 + y | d y =

4 ln 4 - 3 ln 3 - 1 - (3 ln 3 - 2 ln 2 - 1) =

= 4 ln 4 - 6 ln 3 + 2 ln 2

= 8 ln 2 - 6 ln 3 + 2 ln 2

= 10 ln 2 - 6 ln 3

Resposta

10 ln 2 - 6 ln 3

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