Suponha que f x ,   y ,   z = g x 2 + y 2 + z 2 , onde g é uma função de uma variável tal que g 2 = 5 . Calcule ∫ ∫ S   f x ,   y ,   z   d S , onde S é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 .

Passo 1

Pessoal, exatamente na superfície, nós somos capazes de calcular o quanto f vai valer, olha só:

f x ,   y ,   z = g x 2 + y 2 + z 2 = g 4 = g 2 = 5

Então, a integral vai ficar assim:

∫ ∫ S   f x ,   y ,   z   d S = ∫ ∫ S   - 5   d S = - 5 ∫ ∫ S   d S

Passo 2

Porém, a gente sabe que ∫ ∫ S   d S é justamente a área da superfície S , que é uma esfera de raio 2 , então:

∫ ∫ S   f x ,   y ,   z   d S = - 5 4 π   .   2 2 = - 80 π

Resposta

∫ ∫ S   f x ,   y ,   z   d S = - 80 π

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