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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 1h

Calcule

h ) int x (ln x)^2 d x

Passo 1

Nesse caso vamos usar a integração por partes, sendo que o objetivo da integração por partes é usar uma integral do tipo:

Se temos duas funções u (x) e v (x) podemos dizer que:

int u d v = u v - int v d u

No nosso caso é mais fácil usar o x d x = d v já que achar uma primitiva de x d x é mais fácil do que achar uma primitiva de ln^2 x

Assim:

d v = x d x -> v = (x^2)/(2)

(d ((ln x)^2))/(d x) = (2 ln x)/(x) -> d u = (2 ln x)/(x) d x

int x (ln x)^2 = ((ln x)^2 x^2)/(2) - int (x^2)/(2) xx (2 ln x)/(x) d x = ((ln x)^2 x^2)/(2) - int x xx ln x d x

int x (ln x)^2 = ((ln x)^2 x^2)/(2) - int x xx ln x d x

Passo 2

Agora vamos integrar:

int x (ln x)^2 = ((ln x)^2 x^2)/(2) - int x xx ln x d x

Pelo que dá pra ver temos outra integral que pode ser resolvida por partes:

int x xx ln x d x

Novamente, é mais fácil de resolver sendo d x = x d x assim:

int x xx ln x d x = (x^2)/(2) ln x - int (1)/(x) xx (x^2)/(2) d x = (x^2)/(2) ln x - (1)/(2) int x d x

int x xx ln x d x = (x^2)/(2) ln x - (1)/(2) xx (x^2)/(2) = (x^2)/(2) ln x - (x^2)/(4)

Passo 3

Substituindo:

int x (ln x)^2 = ((ln x)^2 x^2)/(2) - [(x^2)/(2) ln x - (x^2)/(4)] = ((ln x)^2 x^2)/(2) - (x^2)/(2) ln x + (x^2)/(4)

= (x^2)/(2) [(ln x)^2 - ln x + (1)/(2)] + k

Lembrando sempre da constante

Resposta

int x (ln x)^2 = (x^2)/(2) [(ln x)^2 - ln x + (1)/(2)] + k

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Esboce o gráfico de F (x) = int_(- oo)^x f (t) d t ondef (t) = (1)/(1 + t^2)
Esboce o gráfico de F (x) = int_(- oo)^x f (t) d t ondef (t) = {[[0,s,e,,|t|,,1],[1,-,t^2,s,e,,|t|,=,1]])
Esboce o gráfico de F (x) = int_(- oo)^x f (t) d t ondef (t) = {[[t,s,e,,0,=,t,=,1],[(1)/(t),s,e,,t,,1],[0,s,e,,t,,0]])
1-10. Esboce o gráfico de F (x) = int_(- oo)^x f ( t ) d t onde3. f (t) = {[[(1)/(t) , s e t = 1],[0 , s e t1]])
1-10. Esboce o gráfico de F (x) = int_(- oo)^x f ( t ) d t onde1. f (t) = {[[2 , s e |t| = 1],[0 , s e |t|1]])