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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 4

Esboce o gráfico de

F (x) = int_(- oo)^x f (t) d t

onde

f (t) = {[[t,s,e,,0,<=,t,<=,1],[(1)/(t),s,e,,t,>,1],[0,s,e,,t,<,0]])

Passo 1

Primeiramente, vamos olhar para f ( x ) graficamente

Podemos separar então a nossa função F ( x ) em três etapas, para x < 0 , para 0 <= x <= 1 e x > 1 . Essa separação se deve pela própria separação da função f ( t ) .

Passo 2

Então vamos analisar cada etapa:

Se x < 0

F (x) = int_(- oo)^x f (t) d t = int_(- oo)^x 0 d t = 0

Se 0 <= x <= 1

F (x) = int_(- oo)^x f (t) d t = int_(- oo)^0 0 d t + int_0^x t d t

= int_0^x t d t = [(t^2)/(2)]_0^x

= (x^2)/(2)

Se x > 1

F (x) = int_(- oo)^x f (t) d t = int_(- oo)^0 0 d t + int_0^1 t d t + int_1^x (1)/(t) d t

= [(t^2)/(2)]_0^1 + [ln t]_1^x = (1)/(2) + ln x + ln 1

= ln x + (1)/(2)

Podemos então definir a função como

F (x) = {[[(x^2)/(2),s,e,,0,<=,x,<=,1],[ln x,+,(1)/(2),s,e,,x,>,1],[0,s,e,,x,<,0]])

Passo 3

Vamos então esboçar o gráfico de F ( x ) no plano:

Resposta

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