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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 1s

Calcule

(d v)/(d t) = 4 - v^2

Passo 1

Primeiramente vamos colocar pra cada lado os termos com mesma variável:

(d v)/(d t) = 4 - v^2 -> (d v)/(4 - v^2) = d t

Agora podemos integrar:

int (d v)/(4 - v^2) = int d t

- int (d v)/(v^2 - 4) = t + k

Para essa integral vamos fazer uma integração por frações parciais

Podemos reescrever a função assim:

- int (d v)/(v^2 - 4) = - int (d v)/((v - 2) (v + 2))

Disso podemos tirar que:

(1)/((v - 2) (v + 2)) = (A)/((v - 2)) + (B)/((v + 2))

Agora precisamos saber quem é A e B :

(1)/((v - 2) (v + 2)) = (A (v + 2) + B (v - 2))/((v - 2) (v + 2)) => 1 = A (v + 2) + B (v - 2)

Podemos fazer assim: Se você substituir pelos valores que zeram, você acha duas relações que te dão os valores direto:

v = 2 :

1 = A (2 + 2) + B (2 - 2) -> 1 = 4 A -> A = (1)/(4)

v = - 2 :

1 = A (- 2 + 2) + B (- 2 - 2) -> 1 = - 4 B -> B = - (1)/(4)

Agora podemos substituir:

(1)/((v - 2) (v + 2)) = (1)/(4) xx (1)/((v - 2)) - (1)/(4) xx (1)/((v + 2))

Vai ficar assim:

- int (d v)/((v - 2) (v + 2)) = - int (1)/(4) xx (1)/((v - 2)) d v + int (1)/(4) xx (1)/((2 + v)) d v =

- (1)/(4) int (1)/((v - 2)) d v + (1)/(4) int (1)/((2 + v)) d v = t + k

Passo 2

A integral vai ficar:

- (1)/(4) int (1)/((v - 2)) d v + (1)/(4) int (1)/((2 + v)) d v = t + k

Lembrando que a primitiva de (1)/(x) é ln x , ou seja:

- (1)/(4) int (1)/((v - 2)) d v + (1)/(4) int (1)/((2 + v)) d v = - (1)/(4) ln |v - 2| + (1)/(4) ln |2 + v| = t + k

= (1)/(4) [- ln |v - 2| + ln |2 + v|] =

= (1)/(4) [ln |(v + 2)/(v - 2)|] =

(1)/(4) [ln |(v + 2)/(v - 2)|] = t + k

Passo 3

Se quisermos v, teremos:

(1)/(4) [ln |(v + 2)/(v - 2)|] = t -> ln |(v + 2)/(v - 2)| = t^4 -> (v + 2)/(v - 2) = e^(t^4) -> v + 2 = e^(t^4) (v - 2)

v = e^(t^4) v - 2 e^(t^4) - 2

2 e^(t^4) + 2 = e^(t^4) v - v

2 (e^(t^4) + 1) = v (e^(t^4) - 1)

v = (2 (e^(t^4) + 1))/((e^(t^4) - 1)) + k

Como k é uma constante vamos deixá-la assim

Resposta

v = (2 (e^(t^4) + 1))/((e^(t^4) - 1)) + k

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