Calcule

dv/dt = 4 - v^2

Passo 1

Primeiramente vamos colocar pra cada lado os termos com mesma variável:

d v d t = 4 - v 2 → d v 4 - v 2 = d t

Agora podemos integrar:

∫ d v 4 - v 2 = ∫ d t

- ∫ d v v 2 - 4 = t + k

Para essa integral vamos fazer uma integração por frações parciais

Podemos reescrever a função assim:

- ∫ d v v 2 - 4 = - ∫ d v v - 2 v + 2  

Disso podemos tirar que:

1 v - 2 v + 2 = A v - 2 + B v + 2

Agora precisamos saber quem é A   e   B :

1 v - 2 v + 2 = A v + 2 + B v - 2 v - 2 v + 2 ⇒ 1 = A v + 2 + B v - 2

Podemos fazer assim: Se você substituir pelos valores que zeram, você acha duas relações que te dão os valores direto:

v = 2 :

1 = A 2 + 2 + B 2 - 2 → 1 = 4 A → A = 1 4

v = - 2 :

1 = A - 2 + 2 + B - 2 - 2 → 1 = - 4 B → B = - 1 4

Agora podemos substituir:

1 v - 2 v + 2 = 1 4 × 1 v - 2 - 1 4 × 1 v + 2

Vai ficar assim:

- ∫ d v v - 2 v + 2   = - ∫ 1 4 × 1 v - 2 d v + ∫ 1 4 × 1 2 + v d v =

- 1 4 ∫ 1 v - 2 d v + 1 4 ∫ 1 2 + v d v = t + k

Passo 2

A integral vai ficar:

- 1 4 ∫ 1 v - 2 d v + 1 4 ∫ 1 2 + v d v = t + k

Lembrando que a primitiva de 1 x é ln ⁡ x , ou seja:

- 1 4 ∫ 1 v - 2 d v + 1 4 ∫ 1 2 + v d v = - 1 4 ln ⁡ v - 2 + 1 4 ln ⁡ 2 + v = t + k

= 1 4 - ln ⁡ v - 2 + ln ⁡ 2 + v =

= 1 4 ln ⁡ v + 2 v - 2 =

1 4 ln ⁡ v + 2 v - 2 = t + k

Passo 3

Se quisermos v, teremos:

1 4 ln ⁡ v + 2 v - 2 = t → ln ⁡ v + 2 v - 2 = t 4 → v + 2 v - 2 = e t 4 → v + 2 = e t 4 v - 2

v = e t 4 v - 2 e t 4 - 2

2 e t 4 + 2 = e t 4 v - v

2 e t 4 + 1 = v e t 4 - 1

v = 2 e t 4 + 1 e t 4 - 1 + k

Como k   é uma constante vamos deixá-la assim

Resposta

v = 2 e t 4 + 1 e t 4 - 1 + k

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