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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 2c

Determine y = y (x) que satisfaça as condições dadas

(d y)/(d x) = 3 y^2 e y (0) = (1)/(2)

Passo 1

Primeiramente vamos colocar pra cada lado os termos com mesma variável:

(d y)/(d x) = 3 y^2

(d y)/(3 y^2) = (y^(- 2))/(3) d y = d x

Agora podemos integrar:

int (y^(- 2))/(3) d y = int d x = x + k

Passo 2

A integral vai ficar:

int (y^(- 2))/(3) d y = x + k

Vamos lembrar que:

int y^n d y = (y^(n + 1))/(n + 1)

Para esse caso:

int (y^(- 2))/(3) d y = (1)/(3) int y^(- 2) d y = (1)/(3) (y^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) = - (1)/(3) y^(- 1) = - (1)/(3 y)

- (1)/(3 y) = x + k

Passo 3

Se quisermos y :

(1)/(y) = - 3 (x + k) = - 3 x - 3 k

y = (1)/(- 3 (x + k))

Passo 4

Agora vamos achar k substituindo x = 0

y (0) = (1)/(- 3 k)

Sabemos que y (0) = (1)/(2) , então:

(1)/(2) = (1)/(- 3 k) -> k = - (2)/(3)

Substituindo esse valor em y (x) :

y = (1)/(- 3 (x - (2)/(3))) = (1)/(- 3 x + 2) = (1)/(2 - 3 x)

y (x) = (1)/(2 - 3 x)

Resposta

y (x) = (1)/(2 - 3 x)

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